¿Cómo abordar este problema?

Question

¿Cálculos trigonométricos o algebraicos? Los radicales como denominador tampoco son muy alentadores y no veo ningún método prometedor para evaluarlo.

Resolver para $n$ en la ecuación siguiente: $$\frac{\sin\left(\frac{90^\circ}{2^n}\right)}{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots\sqrt{2}}}}}_{n \text{ radicals}}}=\frac{-1+\sqrt2}{2}$$

Answer 1

Utiliza la fórmula del medio ángulo: $$\cos{x}=2\cos^2\frac{x}{2}-1$$ Así que $$2+2\cos{x}=4\cos^2\frac{x}{2}$$ Entonces, para $0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$ , $$2\cos\frac{x}{2}=\sqrt{2+2\cos x}$$ Así que $$2\cos\frac{x}{2^{k+1}}=\sqrt{2+2\cos \frac{x}{2^k}}=\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos \frac{x}{2^{k-1}}}}=\ldots$$

Tenemos el denominador $${\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots\sqrt{2}}}}}_{n \text{ radicals}}}$$

y sabemos que $\cos \pi =0$ Así que $$2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}={\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots\sqrt{2}}}}}_{n \text{ radicals}}}$$

Por lo tanto, el lado izquierdo de la expresión se convierte en $$\frac{\sin\left(\frac{90^\circ}{2^n}\right)}{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots\sqrt{2}}}}}_{n \text{ radicals}}}=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}{2\cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}=\frac12\tan{\frac{\pi}{2^{n+1}}}$$

Así que evaluamos $$\frac12\tan{\frac{\pi}{2^{n+1}}}=\frac{-1+\sqrt2}{2}$$ que se simplifica en $$\tan{\frac{\pi}{2^{n+1}}}=\sqrt2-1$$

$n$ se puede encontrar fácilmente desde aquí.

Answer 2

Utilizando este o Demostración de una igualdad con el coseno $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}\ =\ 2\cos (\pi/2^{n+1})$ ,

$$\dfrac{\sin\dfrac\pi{2^{n+1}}}{2\cos\dfrac\pi{2^{n+1}}}=\dfrac{\sqrt2-1}2$$

$$\iff\tan\dfrac\pi{2^{n+1}}=\csc\dfrac\pi4-\cot\dfrac\pi4=\cdots=\tan\dfrac\pi8$$