Demostrando que existe una cuerda horizontal con longitud $1/n$ para una función continua $f: [0,1] \to \mathbb R$

Question

Dada una función continua $f: [0,1] \to \mathbb R$ y que la cuerda que une $A(0, f(0)), B(1, f(1))$ es horizontal, entonces demuestre que existe una cuerda horizontal $CD$ al gráfico $C_f$ con longitud $(CD) = 1 / n$ donde $n$ es un número natural no nulo.

He demostrado la afirmación pero (por métodos de reductio ad absurdum y signum) pero me preguntaba si existe una prueba por inducción, es decir, demostrar que existe algún $x_n \in [0,1]$ tal que $f(x_n) = f(x_n + 1/n)$ . Mi lógica es la siguiente:

1. Demostrando la afirmación para $n=2$ (bastante fácil, basta con aplicar el teorema de Bolzano a f(x) - f(x + 1/2) ). Nótese que $f(0)=f(1)$

2. Para $n = k$ dejamos que $h_k : A_k \to \mathbb R$ sea una función continua donde $$A_k = \bigg [0, \frac {k-1} k \bigg ] \\ h_k(x) = f(x) - f \bigg (x + \frac 1 k \bigg )$$ que satisface nuestra hipótesis (la existencia de al menos un $x_k: h_k(x_k) = 0$ )

3. Demostrando la afirmación para $n = k + 1$ . Estaba pensando en aplicar el teorema de Bolzano a algún intervalo pero no he encontrado tal intervalo. ¿Hay alguno?

Answer 1

Intervalos con longitud $\frac{1}{k}$ y $\frac{1}{k+1}$ solapamiento bastante malo, por lo que no creo que sea una buena idea utilizar la inducción en $k$ . En lugar de eso, sólo toma $h_n:[0,1-1/n]\to\mathbb{R}$ : $$ h_n(x) = f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x) $$ que obviamente es continua. Si $h_n$ es cero en algún lugar de $I=[0,1-1/n]$ no tenemos nada que demostrar, y lo mismo ocurre si $h_n$ cambiar su signo por $I$ por la continuidad. Sin embargo, $h_n$ no puede tener siempre el mismo signo, porque en tal caso $$ 0 = f(1)-f(0) = \sum_{k=0}^{n-1}h_n\left(\frac{k}{n}\right)\neq 0$$ obtenemos una contradicción.