Reciprocidad cuadrática y descomposición de primos en campos ciclotómicos

Question

En la obra de Neukirch Teoría algebraica de los números hay una prueba de la reciprocidad cuadrática que hace uso de la proposición $10.5$ : $$p\text{ is totally split in }\mathbb{Q}(\sqrt{\ell^*})\Leftrightarrow p\text{ splits in }\mathbb{Q}(\zeta)\text{ into an even number of primes}$$ [aquí $p,\ell\in\mathbb{Z}$ son primos de impar, $\zeta$ es una primitiva $\ell$ -raíz de la unidad y $\ell^*:=(-1)^{\frac{\ell-1}{2}}\ell$ ]

Estoy tratando de entender la prueba de $(\Leftarrow)$ .

Observa que, si $\mathfrak{p}$ es un primo superior a $p$ , entonces el número par de primos es equivalente a $[Z_{\mathfrak{p}}:\mathbb{Q}]$ siendo par (donde $Z_{\mathfrak{p}}$ es el campo de descomposición). Me parece bien.

La parte que no entiendo es cuando dice "desde $\text{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta)| \mathbb{Q})$ es cíclico, se deduce que $\mathbb{Q}(\sqrt{\ell^*})\subset Z_{\mathfrak{p}}$ ". ¿Cómo se deduce una cosa de la otra?

Answer 1

Un grupo cíclico tiene un único , normal subgrupo de cualquier orden posible, y todos estos subgrupos y sus cocientes son también cíclicos.

Por tanto, por la correspondencia entre grupos de Galois y campos de extensión, si $Z_{\frak{p}}$ tiene un grado parejo sobre $\mathbb{Q}$ entonces hay una extensión única $K$ de $\mathbb{Q}$ de grado 2 contenido $Z_\frak{p}$ . Pero por el mismo razonamiento, $K$ es también la única extensión de $\mathbb{Q}$ de grado 2 contenida en $\mathbb{Q}(\zeta)$ . Como sabemos (asumo que ya lo sabemos) que $\mathbb{Q}(\sqrt{l^*})$ es una extensión cuadrática de $\mathbb{Q}$ contenida en $\mathbb{Q}(\zeta)$ se deduce que $K = \mathbb{Q}(\sqrt{l^*})$ .