El valor de la secuencia $A_{m,n}$ que satisface una ecuación de recurrencia especial

Question

Para un número entero positivo $m$ y un número entero no negativo $n$ , encontrar $A_{m,n}$ que satisface lo siguiente :

1. Por cada $n$ , $A_{1,n} = 1$

2. Si $n>0$ entonces $A_{m,n}$ = $\displaystyle \sum_{i=0}^{m-1}A_{m-i,n+i-1}$

3. $A_{m,0} = A_{m-1,0}+\displaystyle \sum_{i=0}^{m-2}A_{m-i-1,i}$

• Descubrí que $A_{m,n} = A_{m-1,n+1} + A_{m,n-1}$

Answer 1

La forma cerrada resulta ser $$\color{blue}{A_{m,n}=\frac{n+2}{n+2m}\binom{n+2m}{m-1}.}\tag{*}\label{results}$$

Obsérvese que, utilizando "2.", podemos escribir "3." como $A_{m,0}=A_{m-1,0}+A_{m-1,1}$ (para $m>1$ ).

Ahora utilizamos las funciones generadoras. Sea $A_n(x)=\sum_{m>0} A_{m,n}x^{m-1}$ . Entonces $$A_0(x)=1+\sum_{m>1}(A_{m-1,0}+A_{m-1,1})x^{m-1}=1+x\big(A_0(x)+A_1(x)\big)\tag{1}\label{initial}$$ y, del mismo modo, para $n>0$ $$A_n(x)=1+\sum_{m>1}(A_{m,n-1}+A_{m-1,n+1})x^{m-1}=1+\big(A_{n-1}(x)-1\big)+x A_{n+1}(x).$$

Así, $xA_{n+1}(x)-A_n(x)+A_{n-1}(x)=0$ que es una recurrencia lineal, resuelta por $$A_n(x)=A_+(x)\left(\frac{1+\sqrt{1-4x}}{2x}\right)^n+A_-(x)\left(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\right)^n,\tag{2}\label{general}$$ donde $A_+$ y $A_-$ son algunas funciones de $x$ representable por series de potencias desde $A_0$ y $A_1$ son. Y como $A_n$ es una serie de potencias (también) para cada $n$ Debemos tener $A_+=0$ de forma idéntica. Por lo tanto, $A_-=A_0$ . Ahora \eqref {general} en $n=1$ da $A_1$ en términos de $A_0$ que lo ponemos en \eqref {inicial}. Esto da como resultado $A_0$ y \eqref {general} ahora dice $$A_n(x)=\left(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\right)^{n+2},$$ que tiene un conocido expansión (véase también este artículo para una configuración aún más general) $$A_n(x)=\sum_{k\geqslant 0}\binom{2k+n+2}{k}\frac{n+2}{2k+n+2}x^k.$$

"Renombrar" el índice de suma (según $k=m-1$ ), obtenemos lo esperado \eqref {resultados}.