Cardinalidad de un conjunto de círculos

Question

Encuentra la cardinalidad de un conjunto de circunferencias en el plano cuyo centro tiene coordenadas racionales y cuyo radio es la raíz cuadrada de un número primo.

Answer 1

Dejemos que $A$ sea el conjunto de tales círculos, para cada $x\in A$ dejar $c_x=(h_x,k_x)$ denotan el centro de $x$ y $r_x$ denotan el radio de $x$ . Ahora defina $f:X\rightarrow \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\times \mathbb{P}$ como $x\mapsto (c_x,r_x)=(h_x,k_x,r_x)$ . Esto es claramente una biyección. Ahora, asumiendo el axioma de elección, ya que $$\mid \mathbb{Q}\mid=\mid \mathbb{P}\mid $$ entonces $\mid X \mid =\mid \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\times \mathbb{P} \mid = \aleph_0$

Nota: Aquí $\mathbb{P}$ denota el conjunto de números primos

Answer 2

Intentan confundirte con condiciones aparentemente complejas.

La cosa es que (si dejamos que $\mathbb P$ sea la notación para el conjunto de los primos) entonces

Cada círculo puede ser descrito por $(a,b,p)\in \mathbb Q \times\mathbb Q\times \mathbb P \leftrightarrow C:= \{(x,y)| (x-a)^2 + (y-b)^2 = p\}$

Si queremos ser técnicos y con jerga que es una biyección entre $\mathbb Q \times \mathbb Q\times \mathbb P $ con el conjunto de todos sus círculos.

Así que la cardinalidad que buscas, es simplemente la cardinalidad de $\mathbb Q\times \mathbb Q\times \mathbb P$ .

Y debe conocer la cardinalidad de $\mathbb Q$ y probablemente debería ser capaz de indicar cuál es la cardinalidad de $\mathbb P$ (que es un subconjunto infinito de $\mathbb N$ ) es, y hay proposición que debe saber sobre cardinalidades de productos cruzados de conjuntos que conoce la cardinalidad de....