No entiendo muy bien qué es la cancelación destructiva, ¿alguien puede explicarlo, por favor?

Question

Me han dado este ejemplo 2,00132,0005=0,0008. La cancelación destructiva es el gran valor común, aquí el 2, que desaparece.

Answer 1

$$ \begin{align} 2.314890251 - 2.314890254 & = -0.000000003 \\[8pt] 2.314890251 - 2.314890253 & = -0.000000002 \end{align} $$ Uno de ellos es $3\times\text{something}$ y el otro es $2\times\text{something}$ donde "algo" es lo mismo en ambos casos. Para algunos propósitos, la proporción de $3$ a $2$ puede ser la información que buscas. Puede ser importante que no sea $3$ a $1$ .

Así que redondea los números anteriores: $$ \begin{align} 2.315 - 2.315 & = 0 \\[8pt] 2.315 - 2.315 & = 0 \end{align} $$ Toda la información que buscas se ha perdido.

Un libro llamado Métodos numéricos que funcionan tiene un ejemplo de un problema geométrico en una aplicación de ingeniería en el que se busca un número que se sabe que es la solución de una ecuación cuadrática. Uno de los dos está cerca de $0$ y el otro es grande. El que está cerca de $0$ es necesario. Así que mira $$ \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ La solución con " $+$ " en lugar de " $-$ ", y eso se pierde como se ha visto anteriormente. La solución práctica es: empezar con $0$ como primera aproximación. Ponga el $n$ aproximación en lugar de $x$ en el término cuadrático pero no en el lineal. La solución de la ecuación de primer grado resultante es la $(n+1)$ aproximación.

Answer 2

Supongamos que $x$ y $y$ se conocen con cinco cifras significativas: $x \approx 2.0013$ y $y \approx 2.0005$ . Esto significa que $2.00125 \le x \le 2.00135$ y $2.00045 \le y \le 2.00055$ (algunos de los $\le$ pueden ser sustituidos por $<$ signos, pero exactamente cuáles dependen del modo de redondeo utilizado).

Pero entonces si $z = x - y$ Todo lo que podemos decir con seguridad sobre $z$ es que $0.0007 \le z \le 0.0009$ Así que $z$ ni siquiera es conocido por $1$ figura significativa.

La cancelación destructiva es esta pérdida catastrófica de cifras significativas que puede ocurrir al restar dos números de punto flotante casi iguales.