Un amigo me preguntó si $55$ es el único número piramidal cuadrado que también es un número triangular, y si existe una prueba en ambos casos. No he podido ver la forma de resolverlo y agradecería cualquier idea.
Número de pirámide cuadrada : $ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $
Número triangular : $ \frac{n(n+1)}{2} $
Gracias.
El correspondiente Entrada de MathWorld detalla un método para encontrar números que son a la vez triangulares y cuadrados piramidales.
Un extracto para completar la respuesta:
Se trata de resolver la ecuación diofantina: $$\frac{m(m+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ Completando el cuadrado nos da: $$\frac12\left(m +\frac12\right)^2 - \frac18 = \frac16\left(2n^3+3n^2+n\right)$$ $$\implies 3(2m+1)^2 = 8n^3+12n^2+4n+3$$ cuyas soluciones $(n,m)$ corresponden a los números piramidales cuadrados triangulares $$1, 55, 91, 208335$$
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