Límite de una Integral, Entonces la Suma

Question

Me da que $I_n=\int^1_0x^ne^x\,dx$

Ahora, ¿cómo puedo saber el valor de los siguientes límites: $$\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{I_{k+1}}{k}\right)$$

Supongo que la solución para $I_n$ es necesario en primer lugar aquí?

Answer 1

Sí, estás en lo correcto acerca de el primer paso.

Primero de todo, vamos a encontrar la recurrente respecto de la $I_n$.

Integrando por partes obtenemos: $$I_n=\int^1_0x^ne^x\,dx=e-\int^1_0nx^{n-1}e^x\,dx=e-nI_{n-1}$$ Esto es equivalente a $I_n+nI_{n-1}=e$. La última igualdad implica la $I_{n+1}+(n+1)I_n=I_n+nI_{n-1}$ o $I_{n+1}=n(I_{n-1}-I_n)$. Ahora vamos a analizar nuestros suma.

Obtenemos: $$\sum_{k=1}^n\frac{I_{k+1}}{k}=\sum_{k=2}^n(I_{k-1}-I_k)+I_2=I_1-I_n+I_2$$ Ahora debemos encontrar a que numero es $I_n$ tienden.

Es muy sencillo tener en cuenta que: $$0\leq \int^1_0x^ne^x\,dx \leq e\int^1_0x^n\,dx\Leftrightarrow 0\leq I_n\leq \frac{e}{n+1}$$ Así, obtenemos que: $$\lim_{n\to\infty}I_n=0$$

Para terminar nuestro problema, debemos integrar por partes para calcular que: $$\lim_{n\to\infty} \left(I_1+I_2-I_n\right)=I_1+I_2=e-1$$

Answer 2

$$\begin{align}\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{I_{k+1}}{k}\right) &= \lim_{n\to\infty} \int_0^1 \left( \sum_{k=1}^n \frac{x^{k+1}}{k} \right) e^x \, \mathrm{d}x \\&= \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \left( -x \log(1-x) + d_{n+1}(x) \right) e^x \,\mathrm{d}x \\&= \int_0^1 -x \log(1-x) e^x \, \mathrm{d}x + \lim_{n \to \infty} \int_0^1 d_{n+1}(x) e^x \mathrm{d}x \\&= \int_0^1 -x \log(1-x) e^x \, \mathrm{d}x \end{align}$$

donde $d_n(x)$ es el término de error de la $n$-ésimo orden de la serie de Taylor para $-x \log(1-x)$. Todo lo que queda es mostrar que la última integral es $e-1$ (el integrando tiene una escuela primaria antiderivada) y para mostrar el último límite, realmente no converge a cero; por ejemplo, mediante la delimitación del término de error. (tenga en cuenta que se trata de una integral impropia) (tenga en cuenta también que no es suficiente para observar $d_{n+1}(x) \to 0$$n \to \infty$, debido a que el límite es de fuera de la integral, no en el interior)

Esto no puede ser una manera más fácil, pero yo quería mostrar que usted no tiene que encontrar la $I_{k+1}$ primera.