Acabo de demostrar que $ℂ$ no es un campo. ¿Cuál es el error en mi razonamiento?

Question

¿Cuál es el error en mi razonamiento?

Considere $(X^2+1)$ en $[X]$ . Entonces $(X^2+1)(X^2,1)$ . Porque si $f \in (X^2+1)$ . Entonces $f=(X^2+1)g=X^2g+1g$ . Así que $f \in (X^2,1)$ . Por lo tanto, $(X^2+1)$ no es un ideal máximo. Y por lo tanto $[x]/(X^2+1)$ no es un campo.

Answer 1

El error es que no te has dado cuenta de que el ideal $(X^2,1)$ contiene $1$ y por lo tanto es todo el anillo $\mathbb{R}[X]$ . Por supuesto, el ideal unitario es un ideal que contiene adecuadamente todos los ideales maximales.