Forzamientos que no son equivalentes al colapso de Levy

Question

Supongamos que GCH y que $\kappa$ es un cardinal regular incontable. Sea $\mathbb{P}$ ser un separador, $<\kappa$ -dirigido cerrado, en ningún lugar trivial, $\kappa^+$ -cc poset de tamaño $\kappa^+$ . Debe $\mathbb{P}$ ser forzosamente equivalente a $\text{Col}(\kappa, < \kappa^+)$ ? (que creo que equivale a añadir $\kappa^+$ muchos subconjuntos de Cohen de $\kappa$ ). Si no es así, entonces qué pasa si también suponemos que el $<\kappa$ cierre dirigido de $\mathbb{P}$ es presenciado por los mayores límites inferiores? (es decir, que $\mathbb{P}$ satisface una versión fuerte del requisito de "bien cumplido").

Esta pregunta está en cierto modo relacionada con la siguiente pregunta anterior sobre MO: "Parecido al colapso de Levy" . Allí se demostró que para $\delta > \kappa$ donde $\delta$ es inaccesible, el colapso de Plata para convertir $\delta$ en $\kappa^+$ tiene todas las propiedades relevantes pero no es equivalente al colapso de Levy $\text{Col}(\kappa, < \delta)$ . No creo que el análogo del colapso de la plata entre $\kappa$ y $\kappa^+$ es $\kappa^+$ -cc, sin embargo, por lo que no creo que proporcione un contraejemplo a esta pregunta.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que en el caso especial $\kappa = \omega_1$ , contablemente cerrado implica contablemente dirigido-cerrado.

Respuesta 1: No. En cualquier modelo de CH, hay un contablemente cerrado, $\omega_2$ -c.c. forzando que no es equivalente a $\mathbb P = \text{Add}(\omega_1,\omega_2)$ .

Prueba de ello: Sea $\mathbb Q$ sea el orden parcial de Jensen para añadir un árbol de Kurepa. Las condiciones son $(t,b)$ , donde $t$ es un árbol contable de altura sucesora $\alpha$ , $b$ es un subconjunto contable de $\mathcal P(\omega_1)$ y para todos $x \in b$ , $x \cap \alpha \subseteq t$ . El pedido es $(t_1,b_1) \leq (t_0,b_0)$ cuando $t_1$ extremo-extensión $t_0$ y $b_0 \subseteq b_1$ . No es difícil demostrar que $\mathbb Q$ es contablemente cerrado y $\omega_2$ -c.c. bajo CH. Dos condiciones cualesquiera con la misma primera coordenada son compatibles. La unión de las primeras coordenadas en cualquier genérico es un árbol de Kurepa $T$ por un argumento de densidad.

Obsérvese que todo subconjunto de $\omega_1$ añadido por $\mathbb P$ es añadido por algunos $\omega_1$ -suborden regular de tamaño. Si $\mathbb Q$ fueron forzadas equivalentes a $\mathbb P$ Entonces, habría algunos $\omega_1$ -subálgebra regular del tamaño de $\mathbb R$ de $ro(\mathbb Q)$ que añade el árbol genérico Kurepa $T$ . $\mathbb Q$ obliga a un $\omega_2$ -subconjunto de $\mathcal P(\omega_1)^V$ para estar contenido en el conjunto de ramas de $T$ . Por lo tanto, supongamos que $G * H$ es $\mathbb R * \mathbb Q / \mathbb R$ -genérico. Pero en $V[G]$ podemos calcular si $(p,q) \in H$ ya que sólo determinamos si $p \subseteq T$ y si todos $x \in q$ son ramas de $T$ . Así, $V[G * H] = V[G]$ y $\mathbb Q$ debe tener un conjunto denso de tamaño $\omega_1$ . Pero esto es falso: Si $\{ (t_i,b_i) : i < \omega_1 \} \subseteq \mathbb Q$ y, a continuación, elija $x \notin \bigcup b_i$ . No $(t_i,b_i)$ puede forzar $x$ para ser una rama de $T$ ya que podemos ampliar $t$ para descartar $x$ como una rama.

Tenga en cuenta que $\mathbb Q$ no tiene infima a las cadenas contables ya que tenemos muchas opciones para el "nivel superior" del árbol contable. Pero...

Respuesta 2: No necesariamente, incluso para $\omega_1$ -cerrado con infima. Sea $V$ sea un modelo de GCH, y que $G \subseteq \text{Col}(\omega_1,\omega_2)$ ser genérico. $\omega_3^V = \omega_2^{V[G]}$ . Afirmo que en $V[G]$ , $\mathbb P = \text{Col}(\omega_1,<\omega_2)^{V[G]}$ y $\mathbb Q = \text{Col}(\omega_2,<\omega_3)^{V}$ son ambas contablemente cerradas con infima y ambas $\omega_2$ -c.c., pero no son forzosamente equivalentes.

El cierre se desprende del hecho de que $V$ y $V[G]$ tienen las mismas secuencias contables. El $\omega_2$ -c.c. para $\mathbb Q$ se deduce del hecho de que $\mathbb Q \times \text{Col}(\omega_1,\omega_2)$ es $\omega_3$ -c.c. en $V$ .

A continuación, se puede demostrar un hecho similar a La respuesta de Mohammad . En $V[G]$ ,

(1) $\Vdash_{\mathbb P} \exists A \in [\omega_2]^{\omega_2}$ tal que $A$ no contiene ningún $\omega_1$ -size set de $V[G]$ .

(2) $\Vdash_{\mathbb Q} \exists A \in [\omega_2]^{\omega_2}$ tal que para todo $X \in [\omega_2]^{\omega_2} \cap V[G]$ , hay $y \in [X]^{\omega_1} \cap V[G]$ tal que $y \cap A = \emptyset$ .

La justificación de (1) es la misma que para la respuesta de Mohammad. Para ver (2) , dejemos que $\dot A$ ser un nombre para un código del genérico $H$ para $\mathbb Q$ . En $V$ , dejemos que $\dot B$ sea un nombre para un código de $G \times H$ . Si $X \in ([\omega_2]^{\omega_2})^{V[G]}$ , dejemos que $\dot X$ ser un nombre para ello en $V$ . Dejemos que $p \in \text{Col}(\omega_1,\omega_2)$ sea arbitraria, y que $\{ p_i : i < \omega_3 \} \subseteq \text{Col}(\omega_1,\omega_2) \restriction p$ sea tal que $p_i$ decide la $i^{th}$ miembro de $\dot X$ . Dejemos que $p'$ sea tal que $p_i = p'$ para $\omega_3$ muchos $i$ , dando lugar a un gran conjunto $Y$ tal que $p' \Vdash \check Y \subseteq \dot X$ . Dejemos que $q \in \mathbb Q$ ser arbitrario. Interpretación de $Y$ como un subconjunto de $\mathbb Q$ , encontrar $Y' \subseteq Y$ de tamaño $\omega_3$ tal que $q \nleq y$ para todos $y \in Y'$ . Para cada uno de estos $y$ , elija $q_y \leq q$ tal que $q_y \perp y$ . Ahora forme un $\Delta$ -sistema entre los $q_y$ y que $z$ sea un infimo de un conjunto $S$ de $\omega_1$ muchos de ellos. Entonces $z$ obliga a que el genérico $H$ echa de menos $y$ para $q_y \in S$ . Como $p$ y $q$ eran arbitrarios, hemos terminado.

Asimismo, podemos demostrar que $\mathbb P$ fuerza la negación de la propiedad bajo el signo de forzamiento en (2) y viceversa. Algunos detalles están en la sección 2.1.2 de mi tesis. Puede que publique más información más adelante.