Dado $U_1, U_2, \ldots, U_n$ i.i.d $\sim \text{Unif}(-1, 1)$ ¿Cuál es la probabilidad de que $U_1^2 + U_2^2 + \ldots + U_n^2 \le 1$ ?

Question

Dado $U_1, U_2, \ldots, U_n$ i.i.d $\sim \text{Unif}(-1, 1)$ ¿Cuál es la probabilidad de que $U_1^2 + U_2^2 + \ldots + U_n^2 \le 1$ ?

Intenté reducirlo a $U_1^2 + U_2^2 \le 1$ e interpretar el resultado geométricamente pero no soy capaz de razonar adecuadamente.

$U_1^2 + U_2^2 \le 1$ representa el círculo de radio $1$ centrado en $0$ pero, ¿cómo se puede interpretar $|U_1| + |U_2|$ ?

Si $-1 \le U_1 \le 1$ y $-1 \le U_2 \le 1$ entonces $0 \le |U_1| + |U_2| \le 2$ . Si mi razonamiento es correcto: $$P(U_1^2 + U_2^2 \le 1) = \frac{Area of circle}{Area of |U_1| + |U_2|} = \frac{\pi}{Area of |U_1| + |U_2|}$$

Después se puede aplicar el mismo principio en una dimensión superior, en 3 dimensiones podría ser el volumen de la esfera dividido el volumen de la forma definida por $|U_1| + |U_2| + |U_3|$ etc.

Agradecería alguna orientación al respecto.

Answer 1

El $n$ -volumen dimensional de la $n$ -hipercubo $[-1,+1]^n$ es $2^n$ . El volumen de un $n$ -hiperesfera de radio $1$ es $\dfrac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}$ . Desde $U_1,U_2,\ldots,U_n$ son variables aleatorias independientes distribuidas uniformemente en $[-1,+1]$ la medida de probabilidad conjunta $\mathbb{P}$ es la medida de volumen normalizada en $[-1,+1]^n$ . (El volumen de $[-1,+1]^n$ es normalizado en el sentido de que $\mathbb{P}\big([-1,+1]^n\big)=1$ En otras palabras, $\mathbb{P}(E)=\dfrac{\text{vol}_n(E)}{2^n}$ para todos los subconjuntos medibles $E$ de $[-1,+1]^n$ . Aquí, $\text{vol}_n$ es el estándar $n$ -medida de Legesgue). Dado que el evento $U_1^2+U_2^2+\ldots+U_n^2\leq 1$ forma una unidad $n$ -hiperesfera, la probabilidad de este evento es el volumen normalizado de la unidad $n$ -Hifersfera, que es $$\frac{1}{2^n}\,\left(\dfrac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right)=\frac{1}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}\,\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^n=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\pi^{\frac{n-1}2}}{2^{\frac{n-1}{2}}\,n!!}&\text{if $n$ is odd}\,,\\ \frac{\pi^{\frac{n}2}}{2^{\frac{n}{2}}\,n!!}&\text{if $n$ is even}\,. \end{array} \right.\,.$$ La definición del doble factorial $n!!$ de cada número entero $n\geq 0$ se puede encontrar aquí .

Answer 2

Dejemos que $C_n$ sea el cubo $[-1,1]^n$ y $\lambda_n$ sea su (¡única!) medida invariante respecto a Lebesgue, definida por $\lambda_n(B) = vol(B \cap C_n)/ vol(C_n)$ para cada Borell $B \subseteq \mathbb R^n$ . El vector aleatorio $U=(U_1,\ldots,U_n)$ que ha especificado se distribuye según $\lambda_n$ . Por lo tanto, para cada Borell $B$ tenemos $P(X \in B) = \lambda_n(B)$ . En particular, si $B$ es la esfera unitaria $S_n$ , se obtiene $P(X \in S_n) = vol(S_n \cap C_n) / vol(C_n)$ . El resto son cálculos mecánicos...