Prueba $\sigma (A) \backslash \sigma_p (A) \subset \sigma(B) $ para los operadores $A$ y $B$

Question

$A$ y $B$ son operadores lineales acotados en un espacio de Banach $X$ tal que $A-B$ es compacto, $B$ es invertible, $A$ no es invertible y $0\in \sigma_p (A)$ . ¿Cómo puedo demostrar que $\sigma (A) \backslash \sigma_p (A) \subset \sigma(B) $ ?

Sé por las suposiciones que si $\lambda \in \sigma (A) \backslash \sigma_p (A)$ entonces $\lambda \ne 0$ y $\mathrm {Ker}(A-\lambda I)= \{0\}.$ Ahora he intentado sin éxito utilizar uno de los teoremas de Fredholm para demostrar que $\mathrm {Ker}(B-\lambda I)\ne \{0\}$ o $\mathrm {Im}(B-\lambda I)\ne X$ .

Answer 1

Según los útiles comentarios, esto responde a la pregunta:

Si $\lambda \in \sigma (A) \backslash \sigma _p(A)$ entonces $\mathrm {Ker}(A-\lambda I)=\{0\}$ y $\nexists (A-\lambda I)^{-1}$ . Tenemos que demostrar que $\nexists (B-\lambda I)^{-1}$ Así que supongamos lo contrario, que $\exists (B-\lambda I)^{-1}$ .
Tenga en cuenta que $(A-\lambda I)-(B-\lambda I)=A-B$ es compacto. Como $\nexists (A-\lambda I)^{-1}$ y $\exists (B-\lambda I)^{-1}$ sabemos que existe $v\ne 0$ tal que $(A-\lambda I)v=0$ Y esto es una contradicción.