Interpretación geométrica de la traza de un sistema lineal en la Geometría Algebraica de Hartshorne

Question

En la geometría algebraica de Hartshorne, la página 158 da la definición de la traza de $\mathfrak d$ en $Y$ , donde $i: \, Y \to X$ es una inmersión cerrada de variedades proyectivas no singulares sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ y $\mathfrak d$ es un sistema lineal en $X$ . Dejemos que $\mathfrak d $ corresponde a una gavilla invertible $\mathscr L$ en $X$ y un espacio subvectorial $V \subset \Gamma(X, \mathscr L)$ en $k$ . Entonces, el rastro $\mathfrak d \big |_Y$ de $\mathfrak d$ en $Y$ se define como el sistema lineal correspondiente a $i^* \mathscr L$ y la imagen de $V$ bajo el mapa natural $\Gamma(X, \mathscr L) \to \Gamma (Y, i^* \mathscr L)$ que proviene del mapa natural $\mathscr L \to i_* i^* \mathscr L$ .

Tengo algunas dificultades para entender su interpretación geométrica de $\mathfrak d \big |_Y$ . El libro dice $\mathfrak d \big |_Y$ consiste en todos los divisores $D\cdot Y$ donde $D \in \mathfrak d$ es un divisor cuyo soporte no contiene $Y$ . No entiendo por qué es cierto. Agradezco mucho si alguien puede mostrarme algún detalle al respecto. Una pregunta más es: si el soporte de un divisor correspondiente a $s \in \mathfrak d$ contiene $Y$ Creo que la imagen de $s$ bajo el mapa $\Gamma(X, \mathscr L) \to \Gamma (Y, i^* \mathscr L)$ debe ser $0$ . No sé si es cierto o no.

Muchas gracias.

Answer 1

Normalmente, para tener una mejor intuición geométrica, es útil identificar una gavilla invertible $\mathscr{L}$ con un haz de líneas en $X$ .

Entonces, si $i \colon Y \to X$ es una inmersión cerrada de variedades proyectivas lisas, $i^* \mathscr{L}$ es (esencialmente por definición) la restricción del haz de líneas $\mathcal{L}$ a $Y$ y el mapa natural $\Gamma(X, \, \mathscr{L}) \to \Gamma(Y, \, i^*\mathscr{L})$ viene dada por la restricción de las secciones globales. En particular, el conjunto cero de cualquier sección $\sigma \in V \subset \Gamma(X, \, \mathscr{L})$ da un divisor en $Y$ perteneciente al rastro $\mathfrak{d}|_Y,$ donde $\mathfrak{d}$ es el sistema lineal en $X$ correspondiente a $V$ .

Tu última suposición es cierta. De hecho, hay una corta secuencia exacta de gavillas coherentes en $X$ $$0 \longrightarrow \mathscr{L} \otimes \mathscr{I}_Y \longrightarrow \mathscr{L} \longrightarrow i_* i^*\mathscr{L} \longrightarrow 0$$ que induce, pasando a secciones globales, $$0 \longrightarrow \Gamma(X, \,\mathscr{L} \otimes \mathscr{I}_Y) \longrightarrow \Gamma(X, \,\mathscr{L}) \longrightarrow \Gamma(Y,\,i^*\mathscr{L}).$$ Así que el núcleo del mapa de restricción $ \Gamma(X, \,\mathscr{L}) \longrightarrow \Gamma(Y,\,i^*\mathscr{L})$ es precisamente $\Gamma(X, \,\mathscr{L} \otimes \mathscr{I}_Y)$ que es el espacio subvectorial de las secciones globales $\sigma$ que son idénticos a cero en $Y$ . Esto significa que el divisor correspondiente $s=\textrm{div}(\sigma)$ contiene $Y$ en su apoyo.