probabilidad logarítmica de la difusión del ito

Question

Consideremos un proceso de difusión:

$ \text{d}X_t = f(X_t)\text{d}t + \text{d}W_t$

He visto que la probabilidad logarítmica de la trayectoria es proporcional al funcional Onsager-Machlup

$ \int_0^T \left(\frac{1}{2} \left|\dot{x}-f(x)\right|^2+\frac{1}{2}\nabla_x\cdot f(x)\right)\text{d}t$ .

¿De dónde sale el segundo término con la divergencia? Creo que una vez lo supe... ¿tiene algo que ver con la interpretación de $\dot{x}$ o el conmutador $[x,\dot{x}]$ ?

La expresión puede encontrarse, por ejemplo, en la p. 5 sección 3.1 de Hairer et al, "A Bayesian approach to Data Assimilation" http://www.hairer.org/papers/bayesian.pdf .

Answer 1

Esta es una pregunta muy antigua pero interesante. Al derivar el funcional Onsager--Machlup, el término de divergencia de la deriva proviene de $$ \lim_{\epsilon\to 0} E\left[\exp\left(\int_0^1 f(x(t)+W_t)\,dW_t\right) \,\middle\vert\, \lVert W\rVert<\epsilon\right] = \exp\left(-\frac12\int_0^1 \nabla\cdot f(x(t))\,dt\right). $$ Este límite se demuestra con la ayuda de la fórmula de Itō (cf. Capitaine, 1995 , p. 197) y proviene de la transformación de medidas de Girsanov.

Yo interpreto este término como la amplificación del ruido por parte del sistema. El primer término del funcional OM corresponde a la densidad ficticia del proceso Wiener asociado, en el punto de la trayectoria asociado a $x$ . El segundo término cuantifica en qué medida la deriva absorbe tubos de ruido más grandes o expulsa tubos más pequeños (Dutra 2014 ). Esto es análogo al término jacobiano en el transformación de densidades en $\mathbb R^n$ . Consideremos un sistema lineal, cuanto más negativos sean sus valores propios (lo que los hace "más estables") más probables son los $\epsilon$ -alrededor de la trayectoria cero, o alrededor de una trayectoria que satisfaga la EDO asociada sin ruido.