Es $6^6$ el único poder de $6$ de la forma $648+23004\cdot s$ para s>0

Question

Es $6^6$ el único poder de $6$ de la forma $648+23004\cdot s$ para un número entero s>0?

¿Se puede demostrar? O hay infinitas potencias de $6$ ¿con esa forma?

Usando Wolphram encontré otras soluciones: $6^{41}$ y $6^{76}$ . Así que tal vez haya un patrón: el siguiente es $6^{76+35}$ . Entonces, ¿a qué se debe este patrón?

Answer 1

Queremos resolver $$6^n\equiv648\pmod{23004}$$ Dividir por $36$ . $$6^m\equiv18\pmod{639},\text{ where }m=n-2$$ Dividir por $9$ . $$4\cdot6^k\equiv2\pmod{71},\text{ where }k=m-2=n-4$$ Desde $4\cdot18=72\equiv1\pod{71}$ , multiplique por $18$ . $$6^k\equiv36\pmod{71}$$ y $k=2$ es obviamente la solución más pequeña. Para el resto de soluciones tenemos que resolver $$6^s\equiv1\pmod{71}$$ pues entonces $$6^{2+js}=36\left(6^s\right)^j\equiv36\cdot1^j\pmod{71}$$ Desde $71$ es primo, por el pequeño teorema de Fermat, $$6^{70}\equiv1\pmod{71},$$ y la solución más pequeña es un divisor de $70$ .
Vemos que $$6^5=7776\equiv37\pmod{71}$$ así que $5$ no es una solución.
$$6^7=6^2\cdot6^5\equiv36\cdot37\equiv54\pmod{71}$$ para que $7$ tampoco es una solución. Pero $$54^2=2916\equiv5\pmod{71}$$ para que $$6^{35}=\left(6^7\right)^5\equiv54^5\equiv5\cdot5\cdot54\equiv1\pmod{71}$$ y la solución más pequeña es $s=35$ .

De lo que ha pasado antes tenemos $$n=4+k=4+(2+35j)=\boxed{6+35j}$$ como la solución general.

EDITAR

Mirando esto de nuevo, veo que de alguna manera me olvidé de comprobar los exponentes $2,10,$ y $14$ . Tenemos $$\begin{align} 6^2&\equiv36\\ 6^{10}&=\left(6^5\right)^2&\equiv37^2\equiv20\\ 6^{14}&=\left(6^7\right)^2&\equiv54^2\equiv5\\ &\pmod{71} \end{align}$$ así que $35$ realmente es la solución más pequeña.

Answer 2

Parece que hay infinidad de poderes. Son de la forma $6 + 35n$ , donde $n$ es un número entero no negativo.

Answer 3

Desde $23004=6^2\cdot3^2\cdot71$ y $648=6^2\cdot3^2\cdot2$ tenemos

$$648+23004s=6^2\cdot3^2(2+71s)$$

Para conseguir que esto sea una potencia de $6$ Debemos ser capaces de sacar dos potencias de $2$ fuera del $2+71s$ que requiere $s$ sea de la forma $4u+2$ . Esto nos da

$$648+23004s=6^4(36+71u)$$

Para que esto sea un poder de $6$ Debemos tener $36+71u=6^{n+2}$ para algunos $n$ que tiene una solución entera para $u$ si (y sólo si) $71$ divide $6^n-1$ . Para demostrar que hay infinitas $n$ basta con observar que $6^{70}\equiv1$ mod $71$ por el Pequeño Teorema de Fermat (ya que $71$ es primo), por lo que $n=70k$ es una solución para todos $k\in\mathbb{N}$ .

Para encontrar todo soluciones es un poco más de trabajo. Es conveniente si se conoce la Ley de Reciprocidad Cuadrática, que nos dice

$$\left(6\over71\right)=\left(77\over71\right)=\left(7\over71\right)\left(11\over71\right)=\left(71\over7\right)\left(71\over11\right)=\left(1\over7\right)\left(5\over11\right)=\left(11\over5\right)=\left(1\over5\right)=1$$

Así, $6$ es un cuadrado mod $71$ para que $6^{35}\equiv1$ mod $71$ . De ello se deduce que la menor potencia de $6$ congruente con $1$ mod $71$ es un divisor de $35$ , por lo que queda por comprobar $6^5$ y $6^7$ . Pero $6^3=216\equiv3$ mod $71$ Así que $6^5\equiv6^2\cdot3=108\not\equiv1$ mod $71$ y $6^7\equiv6\cdot3^2=54\not\equiv1$ mod $71$ . Concluimos que todo poder de $6$ de la forma $6^{6+35k}$ puede escribirse de la forma $648+23004s$ y sólo esos poderes de $6$ se puede escribir así.

Answer 4

Notic $648 = 3\cdot 6^3$ y $23004 = 639\cdot 6^2= 71\cdot 3^2 \cdot 6^2=71\cdot 3^4\cdot 2^2$ .

Teorema del resto chino al rescate.

Queremos resolver $6^k \equiv 648 \pmod {23004}$ así que vamos a resolver

$6^k \equiv 648 \pmod {71, 4, 81}$ .

$6^k=2^k \equiv 648 \equiv 0 \pmod 4$ si y sólo si $k \ge 2$ .

$6^k\equiv 648=8\cdot 81 \equiv 0 \pmod {81=3^4}$ si y sólo si $k \ge 4$ .

Y $6^k \equiv 648\equiv 9\pmod{71}$

Ahora algunas cuadraturas sucesivas sabiendo por el Pequeño Teorema de Fermat que $6^{70}\equiv 1 \pmod {71}$ .

$6^2 \equiv 36; 6^3\equiv 6\cdot 36 \equiv 3\cdot 72\equiv 3\pmod {71}$ .

Así que $6^6 \equiv 9\pmod {71}$

Pero $6^{70}\equiv 1\pmod {71}$ así que $6^{6 + 70r} \equiv 9\equiv 648 \pmod {71}$ .

Así que tenemos:

$6^{6+70k} \equiv 0 \equiv 648\pmod{4}$ y

$6^{6+70k} \equiv 0\equiv 648\pmod {81}$ y

$6^{6+70k} \equiv 9\equiv 648\pmod {71}$ y así

$6^{6+70k}\equiv 648\pmod {23004}$ .

Hay infinitas soluciones. Pero es posible que la siguiente sea $6^{76}$ .

(Depende de si $6$ es una raíz primitiva mod $71$ . Si $6^k\equiv 1 \pmod{71}; k < 70$ entonces $k|70$ y $6^5,6^7$ . No he probado $6^{10}$ o $6^{35}$ . Utilizar una calculadora $6^{10}\equiv 20$ y $6^{35}\equiv 1$ ....

Así que $6^{6+35k}\equiv 648\pmod{23004}$ así que la siguiente potencia es $6^{41}\equiv 648\pmod{23004}$ .