Dejemos que $X,Y$ sea $S$ -esquemas, deja $x\in X$ y $y\in Y$ sean puntos sobre $s\in S$ y que $\mathcal O_{Y,y}\to\mathcal O_{X,x}$ sea un local $\mathcal O_{S,s}$ -homorfismo. Si $Y$ es localmente de presentación finita en $y$ entonces este homomorfismo se extiende a un $S$ -morfismo $U\to Y$ para algún barrio $U$ de $x$ .
Aquí se da una buena prueba. En resumen, todo se reduce a la siguiente tarea algebraica:
Dado $R$ -algebras $A,B$ (con $A$ siendo de presentación finita sobre $R$ ) con ideales primos $\mathfrak p\subset A$ y $\mathfrak q\subset B$ que se encuentran sobre el mismo ideal primo $\mathfrak r\subset R$ y dado un homomorfismo local $A_{\mathfrak p}\to B_\mathfrak{q}$ en $R_{\mathfrak r}$ (por lo tanto sobre $R$ también), tenemos que encontrar $b\in B\setminus \mathfrak q$ de manera que la composición $A\to A_{\mathfrak p}\to B_{\mathfrak q}$ factores sobre $B_b\to B_{\mathfrak q}$ .
En la prueba vinculada, un $b\in B$ se construye de manera que la composición $R[T_1,\dots,T_n]\twoheadrightarrow A\to B_{\mathfrak q}$ factores sobre $B_b\to B_{\mathfrak q}$ de tal manera que el mapa resultante $R[T_1,\dots,T_n]\to B_b$ factores a través de $A$ . Aquí entra en juego el hecho de que sólo hay un número finito de relaciones. Sin embargo, mi prueba inicial elude esta condición de finitud y no me parece encontrar un error lógico:
En mi prueba, simplemente escribo $A=R[a_1,\dots,a_n]$ (es decir, sólo asumo $A$ sea de tipo finito sobre $R$ ) y observo que las imágenes $\frac{b_i}{s_i}$ de la $a_i$ a lo largo del mapa $A\to B_{\mathfrak q}$ todos mienten en $B_{b}$ para $b=\prod_i s_i$ . Por lo tanto, el mapa es un factor sobre $B_b\to B_{\mathfrak q}$ independientemente de cualquier condición de finitud con respecto a las relaciones entre los $a_i$ .
¿Alguien puede señalar algún error en mi prueba? De lo contrario, no veo por qué la condición de $Y$ siendo localmente de presentación finita sobre $S$ en $y$ es necesario.
