Si $\log _b a\cdot\log_c a +\log _a b\cdot\log_c b+\log _a c\cdot\log_b c=3$ entonces encuentre el valor de $abc$

Question

Si $\log _b a\cdot\log_c a +\log _a b\cdot\log_c b+\log _a c\cdot\log_b c=3$ y $a,b,c$ son diferentes números reales positivos no iguales a 1, entonces encuentre el valor de $abc$ .

Traté de simplificar esto por diferentes métodos como el uso de la identidad $\log_b a=\frac{1}{\log_a b}$ pero no pude llegar a ninguna parte. La adición, la subracción no se puede utilizar. No soy capaz de encontrar una manera de simplificar el LHS. Sería estupendo si alguien pudiera ayudarme a seguir con este problema.

Answer 1

Si se fija $X=\log a$ , $Y=\log b$ y $Z=\log c$ (cualquier base que desee), su condición se vuelve fácilmente $$ \frac{X^3+Y^3+Z^3}{XYZ}=3 $$ Ahora puede utilizar la identidad $$ X^3+Y^3+Z^3=(X+Y+Z)^3-3(X+Y+Z)(XY+YZ+ZX)+3XYZ $$ para conseguir que $$ (X+Y+Z)\bigl((X+Y+Z)^2-3(XY+YZ+ZX)\bigr)=0 $$ El segundo factor se puede escribir $$ X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX $$ y debemos considerar la forma cuadrática teniendo como matriz $$ A=\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1 & -1/2 \\ -1/2 & -1/2 & 1 \end{bmatrix} $$ Desde $$ \det[1]=1>0, \qquad \det\begin{bmatrix}1 & -1/2 \\ -1/2 & 1\end{bmatrix}=3/4>0 \qquad \det A=0 $$ la forma cuadrática es semidefinida positiva. Su espacio nulo contiene el vector $[1\;1\;1]^T$ , por lo que podemos concluir que su condición implica $$ X+Y+Z=0\qquad\text{or}\qquad X=Y=Z $$ Ya que por suposición $a$ , $b$ y $c$ son distintos por pares, terminamos con $X+Y+Z=0$ .

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Sin formas cuadráticas, se puede razonar sobre $X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX=0$ de la siguiente manera. Dado que $Z\ne0$ por supuesto, podemos establecer $X=uZ$ y $Y=vZ$ por lo que la ecuación se convierte en $$ u^2-uv+v^2-u-v+1=0 $$ y, resolviendo con respecto a $v$ , $v^2-v(u+1)+u^2-u+1=0$ el discriminante es $$ (u+1)^2-4(u^2-u+1)=-3(u-1)^2 $$ por lo que la ecuación tiene solución sólo para $u=1$ , lo que da $v=1$ . Por lo tanto, $X=Y=Z$ .

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Otro enfoque "elemental". Supongamos que $(X+Y+Z)^2=3(XY+YZ+ZX)$ . Establecer $s=X+Y+Z$ y $p=XYZ$ Entonces $X$ , $Y$ y $Z$ son las raíces de la ecuación $$ t^3-st^2+\frac{s^2}{3}t-p=0 $$ por las fórmulas de Viète. Podemos completar el cubo obteniendo $$ \left(t-\frac{s}{3}\right)^3=p-\frac{s^3}{27} $$ que debería tener tres raíces reales. Esto es imposible a menos que las raíces sean coincidentes, por lo que $p=s^3/27$ y $X=Y=Z$ .

Answer 2

Podemos escribir $\log_{b}a = \frac{\log a}{\log b}$ y de manera similar $\log_{c}a = \frac{\log a}{\log c}$ . Ampliando así, tenemos, $$\log_ba\log_ca + \log_ab\log_cb + \log_ac\log_bc =3$$ $$\Rightarrow \frac{(\log a)^2}{\log b\log c} + \frac{(\log b)^2}{\log a\log c} + \frac{(\log c)^2}{\log a\log b} =3$$ $$\Rightarrow \frac{(\log a)^3 + (\log b)^3 + (\log c)^3}{\log a\log b\log c} =3$$ $$\Rightarrow (\log a)^3 + (\log b)^3 + (\log c)^3 = 3\log a\log b\log c...(1)$$ Dejemos que $\log a =x, \log b=y, \log c =z$ . Entonces la ecuación $(1)$ se transforma en $$x^3+y^3+z^3 = 3xyz \Leftrightarrow x+y+z=0$$ Entonces, $$\log a+\log b+\log c=0$$ $$\Rightarrow \log abc =0$$ $$\Rightarrow abc =10^0=1$$ Espero que sea de ayuda.

Answer 3

Utilice $\log_a b=\frac{\ln a}{\ln b}$ $$\log _b a\cdot\log_c a +\log _a b\cdot\log_c b+\log _a c\cdot\log_b c=3$$ $$\frac{\ln a}{\ln b}\cdot \frac{\ln a}{\ln c}+\frac{\ln b}{\ln a}\cdot\frac{\ln b}{\ln c}+\frac{\ln c}{\ln a}\cdot\frac{\ln c}{\ln b}=3$$ $$\ln^3a+\ln^3b+\ln^3c=3(\ln a\ln b\ln c)$$ Pero $x^3+y^3+z^3=3xyz \Leftrightarrow x+y+z=0$

Entonces $\ln a+\ln b+\ln c=0$ $$\ln abc=0$$ Entonces $$abc=1$$

Answer 4

¡Lo tengo!
$\log _b a\cdot\log_c a +\log _a b\cdot\log_c b+\log _a c\cdot\log_b c=3$
$$\frac{{(\log a)}^2}{\log b\cdot\log c} +\frac{{(\log b)}^2}{\log a\cdot\log c} +\frac{{(\log c)}^2}{\log a\cdot\log b} =3$$

$$\frac{{(\log a)}^3+{(\log b)}^3+{(\log c)}^3}{\log a\log b\log c} =3$$

$${(\log a)}^3+{(\log b)}^3+{(\log c)}^3=3\log a\log b\log c$$

Esto significa que $ \log a+\log b+\log c=0 \Rightarrow \log{abc}=0$
Por lo tanto, $abc=1$