Convergencia de una secuencia acotada hacia el límite $L$

Question

Dejemos que $(a_n : n \in \mathbb N)$ sea una secuencia convergente tal que $a \leq a_n \leq b$ para todos $n \in \mathbb N$ . Quiero demostrar que $a \leq lim_{n \rightarrow \infty}a_n \leq b$ . Sé que para demostrar que una secuencia converge a un límite $L \in \mathbb R$ , tiene que utilizar un $\epsilon -N$ prueba. En este caso, dejemos que $\epsilon \gt 0$ se le dará. Mi pregunta principal es, ¿debo elegir un límite $L$ tal que $a \leq L \leq b$ ? Si es así, acabaría obteniendo algo como $|a_n - L| = |a_n + (-L)| \leq |a_n| + |-L| = |a_n| + |L| ...$

¿Cómo funciona exactamente?

Answer 1

Puede que te resulte más fácil utilizar la contradicción, ya que sabes que hay un límite, llámalo $L$ pero sólo quieres probar que su valor está dentro de los límites.

Para cualquier $\epsilon \gt 0$ existe $a_n$ para que $|a_n - L| \lt \epsilon$ es decir, $-\epsilon \lt a_n - L \lt \epsilon$ . Si $L \lt a$ Entonces, si eliges $\epsilon \lt a - L$ , se obtiene $a_n - L \lt \epsilon \lt a - L \implies a_n \lt a$ , lo que no está permitido. También se puede hacer algo similar para demostrar que $L \gt b$ tampoco es posible.

Esto demuestra que $a \le L \le b$ debe aguantar.