Pregunta de geometría relativa a un plano que pasa por el esqueleto de un cubo

Question

Mi pregunta es la siguiente: un plano que ha tomado la forma de un pentágono interseca el esqueleto del cubo. O supongo que podríamos considerarlo como una sección transversal. Puntos $M$ y $N$ se utilizaron para ayudar a realizar esta construcción. Mi pregunta es que quiero probar

$$|AB| + |AE| \lessgtr |BC| + |CD| + |DE|$$

Puse un $\lessgtr$ para representar $>$ o $<$ porque no recuerdo qué símbolo era. Entonces, la idea del problema es decir si la suma de las 2 longitudes de los lados de este pentágono que dije es mayor o menor que la suma de las longitudes de los otros tres lados en este caso.

Por la foto no hay mucho que utilizar me parece. Una idea que tenía era construir una línea de $B$ a $E$ y luego utilizar la desigualdad del triángulo para representar el triángulo $BAE$ . También estuve haciendo otros triángulos con este pentágono y luego traté de comparar todas las desigualdades de triángulos que me salieron. El problema es que no creo que me haya llevado a ninguna parte que pueda ver.

¿Alguien puede ayudar? Se agradecería mucho.

Answer 1

Supongamos que bajamos la cara inferior del cubo lo suficiente como para que ya no intersecte el plano. (Es decir, sustituyes el cubo por un prisma cuadrado alto.) Entonces el pentágono se convierte en un paralelogramo $ABFE$ con $C$ y $D$ en los bordes $BF$ y $FE$ respectivamente. Claramente $|AB|+|AE|=|BF|+|FE|$ y $|BF|+|FE|\ge|BC|+|CD|+|DE|$ .