Cómo Probar la regla de divisibilidad por $3$

Question

La regla de divisibilidad por $3$ es conocida: si se suman los dígitos de $n$ y la suma es divisible por $3$, $n$ es divisible por tres. Esto es muy útil para determinar si realmente grandes números son múltiplos de tres, porque podemos de forma recursiva aplicar esta regla:

$$1212582439 \rightarrow 37 \rightarrow 10\rightarrow 1 \implies 3\not\mid 1212582439$$ $$124524 \rightarrow 18 \rightarrow 9 \implies 3\mid 124524$$

Esto funciona para tantos números como he intentado. Sin embargo, no estoy seguro de cómo esto puede ser demostrado. Por lo tanto, mi pregunta es:

Dado un entero positivo $n$ y $3\mid\text{(the sum of the digits of $n$)}$, ¿cómo podemos probar que $3\mid n$?

Answer 1

SUGERENCIA: Suponga que usted tiene un número de cuatro dígitos $n$ que está escrito $abcd$. Entonces

$$\begin{align*} n&=10^3a+10^2b+10c+d\\ &=(999+1)a+(99+1)b+(9+1)c+d\\ &=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)\\ &=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)\;, \end{align*}$$

así que cuando usted divide $n$$3$, obtendrá

$$333a+33b+3c+\frac{a+b+c+d}3\;.$$

El resto está claro que va a venir de la división de $\frac{a+b+c+d}3$, ya que el $333a+33b+3c$ es un número entero.

Ahora generalizar: hacer un argumento similar para cualquier número de dígitos, no sólo cuatro. (Si usted sabe acerca de congruencias y aritmética modular, usted puede hacer que sea muy compacta.)

Answer 2

$\begin{eqnarray} \rm{\bf Hint}\ \ &&\rm3\ \ divides\ \ a\! +\! 10\,b\! +\! 100\, c\! +\! 1000\,d\! + \cdots\\ \iff &&\rm 3\ \ divides\ \ a\! +\! b\! +\! c\! +\! d\! +\! \cdots +\color{#c00}9\,b\! +\! \color{#c00}{99}\,c\! +\! \color{#c00}{999}\,d\! + \cdots\\ \iff &&\rm3\ \ divides\ \ a\! +\! b\! +\! c\! +\! d + \cdots\ \ by\ \ 3\ \ divides\ \ \color{#c00}{9,\ 99,\ 999,\,\ldots}\end{eqnarray}$

Anteriormente hemos utilizado ese $\rm\ n + 3m\ $ es divisible por $\rm\,3\iff n\:$ es divisible por $\,3.$

Answer 3

Cómo acerca de la inducción?

Es obviamente cierto para los números de un dígito $3, 6$$9$, así que tenemos nuestra base de caso (en realidad, sólo en el caso de $3$ es todo lo que toma, pero me gusta estar en el lado seguro cuando se trata de la inducción).

Ahora, supongamos que tenemos un número divisible por $3$, y vamos a llamar a $n$. También podemos suponer que la suma de los dígitos de $n$ es divisible por $3$. Quiero mostrar que la suma de los dígitos de $n+3$ es también divisible por $3$. Si ese es el caso, entonces estamos de hecho, por el principio de inducción se ocupa de cualquier caso para nosotros a partir de ahí.

La suma de los dígitos de $n$ es un número, digamos que es $m$, y este número se supone que para ser divisible por $3$. Ahora, si tenemos suerte, la suma de los dígitos en $n+3$ es sólo $m+3$, y por suerte me refiero a que no hay ningún llevar a los involucrados. Por lo tanto, si no hay ningún llevar implicadas en la adición de $3$$n$, entonces hemos terminado.

Si hay un acarreo, sin embargo, a continuación, vamos a suponer por un segundo que el último dígito de la $n$ puede superar a $9$. Se que el caso, la suma de los dígitos de $n+3$ realmente ser $m+3$. Esto es lo triste es que no es el caso, pero lo que realmente sucede cuando hacemos el llevar? Restamos $10$ de la $1$dígitos, y agregar $1$ $10$dígitos. Esto tendrá el efecto neto sobre la suma de los dígitos que restamos $9$, así que en ese caso la suma de los dígitos en $n+3$$m+3-9 = m-6$, que todavía es divisible por $3$, así que no hay problema!

"Espera, no, no tan rápido", dicen. "¿Y si la adición de $1$ $10$- s dígito hace un llevar a suceder allí?" Bueno, mi ilustrado lector, en ese caso, el mismo argumento como en el párrafo anterior se aplicará, sólo movido un espacio a la izquierda de los dígitos de $n$. El efecto neto: la suma de los dígitos de $n+3$$m-6-9 = m-15$, siendo divisible por $3$. Si hay un acarreo de los cientos dígitos, entonces vamos a restar otro$9$, para un total de $m-24$. Y así sucesivamente. Usted nunca va a hacer un transporte como el que tome $m+3$ divisible por espacio de tres. Y esto concluye la prueba.

Answer 4

Más en general, un número y la suma de sus dígitos que ambos dejan el mismo resto en la división por $3$. Por ejemplo: $245$ $\mapsto 2+4+5=11$ $\mapsto1+1=2$, así que el resto al $245$ se divide por $3$$2$.

Si usted sabe aritmética modular, esto es sencillo: \begin{align} 245 & = 2\cdot10^2 +4\cdot10+5 \\[8pt] & \equiv 2\cdot1^2 + 4\cdot1 + 5 \pmod 3 \\[8pt] & = 2+4+5 \\[8pt] & = \text{sum of digits.} \end{align}

El punto es que $10$ es congruente a $1$ cuando el módulo es $3$, puesto que el resto cuando se divide $10$$3$$1$, y así los poderes de $10$ son congruentes a los poderes de $1$, y los poderes de $1$ sólo $1$.