La amalgama de dos grupos no triviales es trivial

Question

Tengo esta pregunta en el libro Árbol de Serre. Sea A= $Z$ . $G_1=PSL(2,Q)$ y $G_2=Z/2Z$ . Tomamos $f_1: A\rightarrow G_1$ para ser un inyectiva (no sé qué es este mapa inyectivo) y $f_2:\rightarrow G_2$ para ser un mapa de suryección natural. Demuestre que $G_1*_{A} G_2$ =1$.

Si entiendo el mapa inyectivo entonces puedo jugar con la relación. Cualquier ayuda, pista será muy apreciada.

Answer 1

La amalgama obliga a la copia de $A$ en $G_1$ , $f_1(A)$ para que sea igual a la imagen de $A$ en $G_2$ , $f_2(A)$ . Así que forzamos $f_1(A)=f_2(A)$ . Como $f_1(A)$ es infinitamente cíclico pero $f_2(A)$ es cíclico finito, esto induce un homomorfismo en $\operatorname{PSL}(2, \mathbb{Q})$ . Así que es un imagen homomórfica adecuada de $\operatorname{PSL}(2, \mathbb{Q})$ nos metemos en $G_1\ast_AG_2$ no es una incrustación. Para este ejemplo, la incrustación real $f_1: A\rightarrow G_1$ es irrelevante, porque sólo necesitamos el hecho de que estamos induciendo una imagen homomórfica propia.

Como $\operatorname{PSL}(2, \mathbb{Q})$ es simple, la imagen de $G_1$ en $G_1\ast_AG_2$ (la imagen homomórfica inducida) es trivial. Así, escribiendo $Tr$ para el grupo trivial, tenemos lo siguiente. $$G_1\ast_AG_2\cong Tr\ast_AG_2=Tr\ast_AA=Tr$$ Que es lo que buscas.

Tenga en cuenta que si los mapas $f_1: A\rightarrow G_1$ y $f_2:A\rightarrow G_2$ son ambos inyectivos, entonces es un teorema que los mapas naturales $G_1\rightarrow G_1\ast_AG_2$ y $G_2\rightarrow G_1\ast_AG_2$ son ambas inyectivas. De hecho, algunos autores estipulan que estos mapas debe sea inyectiva $^{\dagger}$ . Por ejemplo, Lyndon y Schupp lo hacen, y de hecho pensé que Serre lo hacía.

---

$^{\dagger}$ Lyndon y Schupp van por algo así: Dado un isomorfismo $\phi$ entre subgrupos $A\leq G$ y $B\leq H$ el producto libre con amalgama es el grupo con presentación relativa $\langle G, H; a=\phi(a), a\in A\rangle$ .