¿Por qué este conjunto de fracciones continuas es perfecto?

Question

¿Podría alguien explicar por qué el conjunto de fracciones continuas en esta respuesta

https://math.stackexchange.com/a/1067/20873

es decir, "el conjunto de todos los irracionales con fracciones continuas que consisten sólo en 1's y 2's en cualquier disposición" es un conjunto perfecto? Gracias.

(Conozco la definición de conjunto perfecto, pero es la primera vez que me encuentro con fracciones continuas infinitas en este contexto, y tampoco sé mucho sobre sus propiedades).

Answer 1

Casi se me olvida que he hecho esta pregunta. Aquí es cómo lo hice usando los consejos de GEdgar:

Sea el conjunto de fracciones continuas descritas $X$ . No hay puntos aislados en $X$ ya que si $x \in X$ y $$x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \dotso}}$$ donde $a_i \in \{1,2\}$ definan la secuencia $x_n$ para $n>0$ sustituyendo $a_n$ en la expansión de $x$ con $1$ si $a_n = 2$ , $2$ si $a_n = 1$ . Entonces, denotando el denominador de la $n$ -convergente de $x$ por $q_n$ y utilizando la fórmula del determinante, $|x_n - x| < \frac{1}{q_n q_{n-1}}$ . Así que $x_n \to x$ .

$X$ es compacta y, por tanto, cerrada y acotada: Sea $C$ denotan el conjunto estándar (ternario) de Cantor, y definen $f:C\to X$ por $0.b_0 b_1 \dotso _3$ (en ternario) $\mapsto$ $x$ donde $a_n = 1$ si $b_n = 0$ , $a_n = 2$ si $b_n = 2$ . Esto es continuo porque dado $y:=0.b_0 b_1 \dotso _3$ (en ternario) $\in C$ y un $\frac{1}{q_n q_{n-1}}$ de $f(y)$ (ver arriba), si dejamos que $\delta = 3^{-n-2}$ entonces $( z\in C$ y $|z-y| < \delta )$ $\implies$ $| f(z) - f(y) | < \frac{1}{q_n q_{n-1}}$ .

Siéntase libre de mejorar esta respuesta.