¿Son todos los teoremas matemáticos necesariamente verdaderos?

Question

Defina una tautología formal como un enunciado en el que, por la naturaleza de sus componentes atómicos, no existe ninguna asignación de valor de verdad en la que no sea verdadero. Un enunciado contingente es un enunciado que es verdadero por hechos del mundo. Un enunciado es necesariamente verdadero si el enunciado es verdadero en todos los mundos posibles. Un enunciado necesariamente verdadero no es contingente y un enunciado contingente no es necesariamente verdadero. Una tautología formal es necesariamente verdadera. Pero un enunciado necesariamente verdadero no siempre es una tautología formal.

¿Existen teoremas matemáticos que sean contingentes? ¿Son todos los teoremas matemáticos necesariamente verdaderos?

Answer 1

Al margen de la tormenta de comentarios, permítanme que intente responder a la pregunta.

Hay varias formas en las que un teorema matemático puede ser contingente.

• En primer lugar, el fenómeno de la independencia en la teoría de conjuntos muestra la sorprendente ubicuidad de contingencia en las matemáticas. Por ejemplo, la Hipótesis del Continuo es verdadera en algunos mundos de la teoría de conjuntos y falsa en otros (y podemos controlarla exactamente). Hay cientos de otros ejemplos de afirmaciones con el mismo estatus de independencia: son verdaderos en algunos mundos y falsos en otros. El método de forzamiento se ha utilizado con un efecto espectacular para demostrar muchos de estos resultados de independencia.

• El fenómeno de Incompletitud de Goedel puede utilizarse para demostrar que si un enunciado es demostrable o no a partir de un determinado sistema de axiomas (en lógica clásica) puede ser contingente. En concreto, el teorema de Incompletitud dice que ninguna teoría T, si es consistente, puede demostrar su propia consistencia. Así, si ZFC es consistente, entonces hay modelos de ZFC en los que se piensa que ZFC es inconsistente. En tal modelo, ¡se piensa que ZFC demuestra cualquier afirmación! Pero en nuestro mundo, no todos estos enunciados serán teoremas. Así, en este sentido, incluso la cuestión de si un enunciado dado es un teorema o no puede ser contingente.

• La gran jerarquía cardinal de la teoría de conjuntos proporciona numerosos ejemplos de enunciados que trascienden la fuerza de consistencia de las afirmaciones más débiles. Si los cardinales grandes son consistentes, entonces hay algunos universos de la teoría de conjuntos en los que ZFC demuestra que no hay cardinales inaccesibles y otros universos en los que no lo hace.

También hay varias formas de descartar la contingencia de la contingencia.

• En primer lugar, una de las propiedades más importantes de un sistema de pruebas es solidez , lo que significa que cualquier afirmación demostrable en el sistema a partir de hipótesis verdaderas seguirá siendo verdadera. Por supuesto, esta es una característica esperada de cualquier sistema de pruebas digno de ese nombre. A teorema es un enunciado que tiene una prueba en dicho sistema. Una vez que hemos adoptado un sistema de demostración que es sólido, y los axiomas son todos necesariamente verdaderos, entonces los teoremas también serán necesariamente verdaderos. En este sentido, no puede haber teoremas contingentes.

• En segundo lugar, uno de los logros profundos de Goedel fue su Teorema de la integridad que establece que cualquier afirmación que es válida en todos los modelos de una teoría de primer orden de primer orden T, tiene realmente una prueba de la teoría. En ejemplo, toda afirmación en el lenguaje de la teoría de grupos que resulta ser verdadera en todos los grupos, tiene en realidad una prueba finita a partir de los axiomas de grupo (utilizando cualquiera de los sistemas de prueba). Esto está lejos de ser obvio, y lo encuentro profundo. Pero responde a una versión dual de una pregunta que podrías que me parece interesante, a saber: ¿Es toda verdad necesaria un teorema? La respuesta es sí, y esto es justo lo que expresa el expresa el teorema de completitud.

Estos dos últimos puntos explican que si uno toma los mundos posibles como todos los modelos de una teoría dada, entonces las verdades necesarias son precisamente los teoremas de esa teoría.

Answer 2

John Goodrick escribe, muy al grano: Lo último que he oído es que no hay consenso en la comunidad filosófica sobre qué es exactamente un "mundo posible", o si es siquiera una noción coherente, o si "necesidad" significa realmente "verdadero en todos los mundos posibles". Creo que esto es un problema de cómo está formulada la pregunta, pero si las respuestas no suponen que hay una interpetación fija de estos términos, tal vez podamos decir algo que no sea totalmente inútil.

Robert Hanna ( Teoría del Juicio de Kant, SEP 2009, sec. 2.2.2 ) interpreta que Kant dice que "los mundos lógicamente posibles no son más que conjuntos máximos de conceptos lógicamente consistentes". Si aplicamos esto diciendo que los mundos lógicamente posibles que pueden contener los conceptos tal como los expresa una axiomatización son los modelos de esa teoría, entonces se deduce que los teoremas de una axiomatización son necesariamente verdaderos.

Hay algunos problemas que podríamos tener con esto:

1. La necesidad en esta interpretación es completamente ortogonal a las preguntas sobre cuáles son las axiomatizaciones apropiadas de los conceptos matemáticos dados; y
2. Algunos conceptos matemáticos parecen no tener una axiomatización adecuada.

Pero la necesidad nunca me ha parecido un concepto muy útil tal y como se utiliza en filosofía. Es uno de los conceptos que parecen iluminar, pero sólo deslumbran.