Es la matriz de $A$ diagonalizable si $A^2=I$

Question

Si $A$ es un involutory de la matriz, es decir,$A^2=I$, entonces es $A$ diagonalizable?

Answer 1

Desde $A^2=I$, $A$ satisface el polinomio $t^2-1 = (t-1)(t+1)$. Por lo tanto, el polinomio mínimo de a $A$ divide $(t-1)(t+1)$; por lo que el polinomio mínimo de a $A$ divisiones y tiene distintas raíces, por lo $A$ es diagonalizable.

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Como N. S. señala en los comentarios, lo anterior falla, si trabaja usted en carácter 2. Allí, la matriz de $$A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right)$$ tiene un mínimo y características de los polinomios $t^2+1 = (t+1)^2$, y no es diagonalizable (el subespacio propio de $1$ tiene dimensión $1$). Pero si $1\neq -1$, que se establecen.