Etiquetado de los estados de la estructura hiperfina en un campo magnético fuerte

Question

Estoy tratando de calcular los cambios de frecuencia a los niveles de energía hiperfina en $^{39}$ K $\,$ S $_{1/2}$ (el estado básico).

Diagonalizo el Hamiltoniano para diferentes valores del $B_z$ con una base que es un estado propio de $$ \hat{\mathbf{L}}\,\otimes \hat{\mathbf{S}}\,\otimes\hat{\mathbf{I}},$$ que son los momentos angulares orbital, de espín y nuclear, respectivamente.

Me sale algo así:

Lo que parece cualitativamente correcto.

Pregunta ¿Cómo podría etiquetar estos estados?

Los vectores propios que corresponden a los valores propios en el gráfico son $B_z$ dependiente, así que supongo que no puedo usar $m_F$ como un buen número cuántico. Pero eso es lo que se suele hacer en los libros de texto, junto con un $m_J$ también. ¿Cómo puedo obtenerlos de mis estados propios?

Además, 2 de los estados electrónicos son $B_z$ independientes (el naranja y el azul oscuro)... ¿hay una interpretación física para esto?

Answer 1

En primer lugar, creo que tienes un error de signo y en realidad tus colectores deberían estar invertidos. ¡Uy! Esto es fácil de hacer si se utiliza el signo equivocado para $g_I$ y $g_J,$ y diferentes autores utilizan diferentes convenciones sobre dónde van estos signos.

La convención es etiquetar los estados propios por el estado al que están conectados adiabáticamente en campo cero. Esto significa etiquetarlos por $(F,m_F)$ , donde $F$ y $m_F$ son el momento angular total y la proyección del momento angular total a lo largo del campo magnético.

El $F$ corresponde al colector hiperfino, que es $F=2$ para los cinco estados que van a la misma energía a campo cero, y $F=1$ para los otros tres. Entonces, para cada colector, se puede encontrar el $m_F$ número mirando el límite de campo bajo donde todos son lineales. En este régimen, $$U=g_F m_F B$$ por lo que para un determinado $F$ y $B$ el $m_F$ Los estados van en orden desde $m_F=-F$ a $m_F=F$ .

$g_F$ es la relación giroscópica del momento angular total, que puede calcularse a partir de $g_I$ y $g_J$ como:

$g_F\sim g_J \frac{F(F+1)-I(I+1)+J(J+1)}{2F(F+1)} $$

de nuevo teniendo cuidado con la convención de signos utilizada (1) .

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Por último, si te apetece hacer trampa, puedes encontrar el diagrama correcto aquí .