Límite inferior para $\text{ord}_{pq} a$

Question

Dejemos que $p$ y $q$ sean números primos Impares distintos y $\gcd(a, pq)=1$ . ¿Existe una expresión para el límite inferior del orden de $a$ modulo $pq$ ?

Sé que con las condiciones dadas tenemos $$a^{\text{lcm}(p-1, q-1)} \equiv 1 \pmod{pq}$$ Estaba buscando algo como $\text{ord}_{pq} a \ge\text{lcm}(p-1, q-1)$ . Sé que esto no es cierto. Sólo quería dar un ejemplo de lo que estoy buscando.

Answer 1

No puede haber ningún límite; toma $a=1$ El orden es el siguiente $1$ . Si esto le parece trivial, tome $a= pq-1$ El orden es el siguiente $2$ .

Generalmente, la condición $\gcd(a,pq)=1$ sólo significa que la clase es invertible. La estructura del grupo de clases invertibles es bien conocida. En este caso sabemos que este (multiplicativo) es isomorfo a $C_{p-1} \times C_{q-1}$ y además a $C_{\gcd(p-1,q-1)} \times C_{\operatorname{lcm}(p-1,q-1)}$ . Así que cualquier divisor de $\operatorname{lcm}(p-1,q-1)$ será la orden de algunos $a$ .

Por supuesto, sólo hay un elemento de orden $1$ y hay tres elementos de orden $2$ . Si excluimos de alguna manera a estos, entonces el orden estará limitado por debajo del menor divisor mayor que $2$ de $\operatorname{lcm}(p-1,q-1)$ .