Una pregunta sobre la diferenciación

Question

$g(x)=\sin(1/x) , g(0)=0$

Definir $G(x)=\int _{0}^{x}g\left( t\right) dt$

Mostrar $G'(0)=g(0)$

Utilizo la definición

$$G'(0) = \lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {G\left( h\right) -G\left( 0\right) } {h}$$

$$=\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {\int _{0}^{h}g\left( t\right) dt} {h}$$

$$=\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {\int _{0}^{h}\sin(1/t) dt} {h}$$

No tengo ni idea del siguiente paso

¿Puedes darme alguna pista?

¡¡¡Gracias!!!

Answer 1

Ampliando mi comentario, dejemos $F(x) =x^{2}\cos(1/x),F(0)=0,f(x)=2x\cos(1/x),f(0)=0$ . Podemos observar que $F$ es diferenciable en todas partes, $f$ es continua en todas partes y $g$ es continua en todas partes excepto en $x=0$ y $g$ está acotado. Es fácil ver que $F'(x) =f(x)+g(x)$ para todos $x$ y $f(x) +g(x)$ es integrable de Riemann en cualquier intervalo cerrado y acotado. Así, por el segundo teorema fundamental del cálculo tenemos $$F(x) - F(0)=\int_{0}^{x}\{f(t)+g(t)\}\,dt$$ o $$x^{2}\cos\left(\frac{1}{x}\right)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt+\int_{0}^{x}g(t)\,dt$$ o $$x\cos\left(\frac{1}{x}\right)= \frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)\,dt+\frac{1}{x}\int_{0}^{x}g(t)\,dt$$ Tomando los límites como $x\to 0$ obtenemos $$0=f(0)+\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}g(t)\,dt$$ donde el límite del primer término de la derecha se evalúa como $f(0)$ debido al primer teorema fundamental del cálculo y al hecho de que $f$ es continua en $x=0$ . Desde $f(0)=0$ se deduce que $$G'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}g(t)\,dt=0=g(0)$$

Answer 2

¡Utiliza L'Hopital!

Recordando que $${d\over dx}\int _{f(x)}^{g(x)}h(t)dt=g'(x)h(g(x))-f'(x)h(f(x))$$