Casos de descomposición parcial de fracciones

Question

¿Cuántos casos hay en la integración utilizando fracciones parciales?

Answer 1

Si he entendido bien su pregunta, diría que hay $5$ casos.

Suponga que tiene una función racional $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ donde el grado de $q(x)$ supera el grado de $p(x)$ .

Caso $1$ : $q(x)$ es un producto de factores lineales distintos

Ejemplo: Considere $q(x)=\dfrac{x}{(x+3)(x-1)}$

Caso $2$ : $q(x)$ es un producto de factores lineales, donde algunos de estos factores se repiten

Ejemplo: Considere $q(x)=\dfrac{x^2}{(x+4)^2(x-2)}$

Caso $3$ : $q(x)$ es un producto de factores cuadráticos irreducibles distintos

Ejemplo: Considere $q(x)=\dfrac{x}{(x^2+1)(x^2+3)}$

Caso $4$ : $q(x)$ es un producto de factores cuadráticos irreducibles, donde algunos se repiten

Ejemplo: Considere $q(x)=\dfrac{2x-1}{(x^2+x+1)^3}$

Caso $5$ : $q(x)$ es una mezcla de los casos anteriores.

Ejemplo: Considere $\dfrac{3x-2}{(x-2)^2(x^2+x+2)}$

Consideremos otro ejemplo, en el que se ha trabajado hasta la fase de descomposición de la solución.

\begin{align} &\frac{2x-1}{(x-1)^2(x^2+x+1)^2}\\ &=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}+\frac{Ex+F}{(x^2+x+1)^2}\\ \end{align}

Entonces, puedes hacer lo que normalmente haces para las fracciones parciales e igualar los coeficientes.