A continuación se presenta una prueba de que, para una situación suficientemente genérica $z$ , $b_1(Y(z))=n-1$ .
Primero mostramos $b_1(Y(z))\geq n-1$ .
Dejemos que $d=(d_1,d_2..,d_{n-1}): Y(z)\to({\mathbb C}^*)^{n-1}$ . Se pueden levantar explícitamente los bucles en $H_1(({\mathbb C}^*)^{n-1})$ como sigue. Fijar $i$ entre $1$ y $n-1$ . Sea $e(t)=exp(2\pi \sqrt{-1} t)$ y $$B(t):=\left(\begin{array}{cc} e(t) & 1\\\ e(t)(z_i+z_{i+1}-e(t))-z_iz_{i+1} & z_i+z_{i+1}-e(t) \end{array}\right).$$ Entonces el polinomio característico de $B(t)$ es $(\lambda-z_i)(\lambda-z_{i+1})$ . Formar una $n\times n$ matriz $A(t)$ como si tuviera $z_1,\dots,z_{i-1}$ en la diagonal principal, entonces $B(t)$ entonces $z_{i+2},\dots,z_{n}$ y cero en el resto. Esta matriz tiene la propiedad de que $A(t)\in Y(z)$ (ya que asumimos z genérico) y $d_j(A(t))=z_1\cdot\dots\cdot z_j$ a menos que $j=i$ cuando $d_i(A(t))=e(t)z_1\cdot\dots\cdot z_{i-1}$ . Así, $A(t)$ es un bucle en $Y(z)$ cubriendo el $i$ generador de $H_1(({\mathbb C}^*)^{n-1})$ .
Así, encontramos que $d_*:H_1(Y(z))\to H_1(({\mathbb C}^*)^{n-1})$ es suryente por lo que $b_1(Y(z))\geq n-1$ .
Argumentar que $b_1\leq n-1$ primero demostramos que los divisores $D_i:=d_i^{-1}(0)$ son irreducibles en $X(z)$ para una situación suficientemente genérica $z$ . Observamos que $D_i$ es irreducible en $M_{nxn}$ que puede verse fácilmente sobre un campo finito contando puntos en $D_i$ . Esto implica que, para una situación suficientemente genérica genérico $z$ el divisor $D_i$ es irreducible en $X(z)$ . Cuando $z_i\neq z_j$ para $i\neq j$ vemos que $X(z)$ fibras sobre la variedad de bandera completa con fibras contraíbles, por lo que es simplemente conectada. A partir de la homología de la secuencia de Gysin obtenemos que la eliminación de un divisor irreducible de una variedad lisa puede aumentar $b_1$ como máximo en uno. Por inducción podemos concluir que $b_1(Y(z))\leq n-1$ .
Como ejemplo, tomemos $n=2$ . Aquí estamos eliminando una copia de ${\mathbb C}^*$ de $X(z)$ un haz de líneas afines sobre ${\mathbb P}^1$ . Esto tendrá los números de Betti $b_1=1$ y $b_2=2$ con pesos $q,q,q^2$ respectivamente, para dar el polinomio de Serre $q^2+1$ . Tendremos el mapa $d=d_1:Y(z) \to {\mathbb C}^{*}$ . Las fibras de este mapa serán genéricamente un ${\mathbb C}^{*}$ y tendrá dos fibras singulares, que darán el grupo fundamental no trivial. La cuestión es que se puede levantar el bucle generador $\pi_1({\mathbb C}^*)$ como genéricamente $d_1$ es un fibrado con fibras conectadas.
