Encontrar el MLE, MOM de una distribución

Question

Estoy atascado en un problema concreto y no sé muy bien qué hacer. El problema dice así:

Dejemos que $X_1, X_2, . . . , X_n$ sea una muestra aleatoria de una distribución con densidad $f(x) = \frac{xe^\frac{-x}{\beta}}{\beta^2}$
donde $x > 0, b > 0.$ Encuentre la MLE y la MOM de $\beta.$

Quiero decir que la MLE de $\beta$ es sólo la derivada de $f(x)$ con respecto a $\beta$ pero no estoy seguro. Y estoy en blanco en el MOM. ¡Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

La función de máxima probabilidad viene dada por $$\mathcal L(\vec{x},β)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i\midβ)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{β^2}x_ie^{-\frac{1}{β}x_i}=β^{-2n}e^{-\frac{1}{β}\sum_{i=1}^{n}x_i}\cdot \prod_{i=1}^{n}x_i$$ La función de probabilidad logarítmica viene dada por $$\mathcal l(\vec{x},β)=\ln\left(\mathcal L(\vec{x},β)\right)=-2n\ln(β)-\frac{1}{β^2}\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}\ln(x_i)$$ Establecer la derivada de $\mathcal l$ con respecto a $β$ igual a $0$ produce $$\frac{\partial}{\partial β}\mathcal l(\vec{x},β)=\frac{-2n}{β}+2\frac{1}{β^3}\sum_{i=1}^{n}x_i\overset{!}=0\implies\hat{β} =\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}}$$ que satisface $\hat{β}>0$ como se requiere. Comprobando también la segunda derivada se obtiene que en la $\hat{β}$ la probabilidad logarítmica alcanza efectivamente un máximo.

Para encontrar el MOM hay que calcular el valor esperado $μ=Ε[X]$ de la distribución y establecerla igual a la media de la muestra $\bar{X}_n$ (Alguien se confunde fácilmente que $\bar{X}_n$ también se desconoce. No, se conoce ya que depende de la medición de las variables aleatorias $X_i$ y en cuanto realices tu experimento - mediciones/muestras - tendrás valores numéricos concretos para sustituirlos). Así que $$μ=Ε[X]=\int_{0}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{\infty}\frac{x^2}{β^2}e^{-\frac{x}{β}}dx=β\int_{0}^{\infty}u^2e^{-u}du=2β$$ Así, la madre de $β$ viene dada por $$μ=\bar{X}_n\iff\tilde{β}=\frac{\bar{X}_n}{2}$$