Hallar el punto de intersección entre un segmento de recta $AC$ y una línea perpendicular que pasa por un punto $B$ no en $AC$

Question

He hecho esta pregunta primero en Stack Overflow ( ¿Cómo encontrar la posición en píxeles de la intersección de dos líneas? ) pero en realidad es una pregunta de matemáticas así que la hago aquí y borro la del SO.

Tengo $3$ puntos $A$ , $B$ y $C$ y necesito calcular el punto $D$ en la imagen de arriba, para poder dibujar ese segmento de línea más corto. Deberíamos tener $AC\perp BD$ .

Debería ser sencillo (dificultad de bachillerato), pero no sé cómo resolverlo. ¿Tengo que calcular las ecuaciones de las rectas que pasan por dos puntos y luego la ecuación de la recta perpendicular que pasa por un punto y luego la intersección de dos rectas, o hay alguna forma más fácil?

Parece que cuando la proporción es $4:3$ el punto está en el punto áureo pero si la proporción es diferente el punto está en otro lugar.

Answer 1

Diga $\vert AD\vert=a, \vert AB\vert =b, \vert DC\vert =c$ y $\vert BC\vert =d$ . Ahora, por el teorema de Pitágoras $$\vert DB\vert^2=b^2-a^2=d^2-c^2.$$ Esto implica que $$b^2-d^2=a^2-c^2\\\frac{b^2-d^2}{a+c}=a-c.$$ Ahora añade $a+c$ a ambos lados y dividir por dos: $$\frac{b^2-d^2}{2(a+c)}+\frac{a+c}{2}=a.$$ Así que ahora sabemos que $\vert AD\vert = a=\frac{b^2-d^2}{2(a+c)}+\frac{a+c}{2}$ . Tenga en cuenta que $b$ , $d$ y $a+c$ puede derivarse de las coordenadas de $A$ , $B$ y $C$ .

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

Aquí hay un par de maneras más de resolver este problema.

Desde $D$ está en el segmento de línea $AC$ tenemos $D=(1-\lambda)A+\lambda B$ para algunos $\lambda\in[0,1]$ . Queremos $AC\perp BD$ que puede expresarse como $(C-A)\cdot(D-B)=0$ . Resuelva la ecuación resultante para $\lambda$ y comprobar que $0\le\lambda\le1$ para que $D$ cae realmente en el segmento de línea.

Utilizando coordenadas homogéneas, la línea $\overline{AC}$ viene dada por $A\times C$ . Sabemos que $AC\perp BD$ por lo que a partir de la ecuación punto-pendiente de la recta $\overline{BD}$ , $(C-A)\cdot(X-B)=0$ encontramos que esta línea está representada por el vector $(x_C-x_A,y_C-y_A,(A-C)\cdot B)$ . La intersección de estas líneas viene dada por el producto cruzado de estos dos vectores. Una simple comprobación de rango nos dice entonces si el punto así encontrado está o no entre $A$ y $C$ según sea necesario. (Nota: este uso de los productos cruzados equivale a resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer).

Answer 3

Hay varias formas de resolver este problema.

Supongamos que las coordenadas de los puntos $A$ , $B$ y $C$ vienen dadas por $$ \begin{align*} A &=(a_1,a_2, a_3,\ldots, a_n), \\ B &=(b_1,b_2,b_3,\ldots, b_n), \mbox{ and }\\ C &=(c_1,c_2,c_3,\ldots, c_n). \\ \end{align*} $$ Entonces los vectores de posición de estos puntos $A$ , $B$ y $C$ son $$ \begin{align*} \vec{\mathcal{O}A} &=\langle a_1,a_2, a_3,\ldots, a_n\rangle , \\ \vec{\mathcal{O}B} &=\langle b_1,b_2,b_3,\ldots, b_n\rangle, \mbox{ and }\\ \vec{\mathcal{O}C} &=\langle c_1,c_2,c_3,\ldots, c_n\rangle, \\ \end{align*} $$ donde $\mathcal{O}$ es el origen $(0,0,\ldots, 0)$ . Dejemos que $$ \begin{align*} \vec{v_1}&=\vec{AC}=\langle c_1-a_1,c_2-a_2,\ldots, c_n-a_n \rangle \mbox{ and } \\ \vec{v_2}&=\vec{AB}=\langle b_1-a_1,b_2-a_2,\ldots, b_n-a_n \rangle. \\ \end{align*} $$ Entonces el vector que se obtiene al proyectar $\vec{AB}$ en $\vec{AC}$ se da como $$ \text{proj}_{\vec{AC}}\vec{AB} = \text{proj}_{\vec{v_1}}\vec{v_2} = \dfrac{\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}}{\vec{v_1}\cdot \vec{v_1}}\vec{v_1} =\vec{AD}. $$ Así que $\vec{\mathcal{O}D}=\vec{\mathcal{O}A}+\vec{AD}$ que da el vector de posición del punto $D$ .

Answer 4

Método 1

Sean las coordenadas $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3), D(x_4, y_4)$ .

Si $x_1 = x_3$ , $AC$ es vertical y $D \equiv (x_1, y_2)$ .

Si $y_1 = y_3$ , $AC$ es horizontal y $D \equiv (x_2, y_1)$ .

Si no es así, la pendiente de la línea $AC$ viene dada por $m = \dfrac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1}$ y la ecuación de la línea (extendida) $AC$ es $\dfrac{y - y_1}{x - x_1} = m \iff y - mx = y_1 - m x_1$ .

Desde $BD$ es perpendicular a $AC$ la pendiente de la línea (extendida) $BD$ debe ser $- \dfrac{1}{m}$ y la ecuación viene dada por $y + \dfrac{1}{m} x = y_2 + \dfrac{1}{m} x_2$ .

Si resuelves estas dos ecuaciones, obtendrás las coordenadas de $D$ .

Es un método sencillo.

Método 2

Supongamos que $AD:DC = 1:q$ . (Si $D$ se encuentra fuera $AB$ , $q$ resultará negativo).

Entonces $D \equiv (x_4, y_4) = (\frac{x_3 + q x_1}{1 + q}, \frac{y_3 + q y_1}{1 + q})$ . Desde $BD$ es perpendicular a $AC$ Debemos tener

$\dfrac{y_2 - \dfrac{y_3 + q y_1}{1 + q}}{x_2 - \dfrac{x_3 + q x_1}{1 + q}} % = - \dfrac{x_3 - x_1}{y_3 - y_1} \quad \quad \textit{(= negative reciprocal of slope of $ AC $)}$

Resuelva la ecuación anterior para $q$ , vuelva a sustituir el valor en $(x_4, y_4)$ y obtener las coordenadas. Resolver la ecuación no es tan difícil como parece.