demostrar que una función holomorfa f es armónica.

Question

$$f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) : x,y \in R $$

$$\triangle(u)=\triangle(v)=0$$

¿Existe una prueba muy elegante y fácil de entender para esto?

¿O tengo que derivarlo 2 veces para demostrar que funciona?

Me gustaría tener una idea de esto y de por qué es tan útil.

Answer 1

Se puede demostrar que si $f = u + iv$ es holomorfa en una región $G$ entonces $u$ y $v$ son armónicos en $G$ .

Prueba : Primero invocamos el hecho de que $f$ es infinitamente diferenciable, y por lo tanto también lo son $u$ y $v$ . En particular, $u$ y $v$ tienen segundos parciales continuos. Ahora utilice el hecho de que $u$ y $v$ debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

$u_{x} = v_{y}$ y $u_{y} = −v_{x}$ en $G$ Por lo tanto

$u_{xx} +u_{yy} =(u_{x})_{x} +(u_{y})_{y} =(v_{y})_{x} +(−v_{x})_{y} =v_{yx} −v_{xy} =0$ en $G$ .
$\square$

Nótese que en el último paso hemos utilizado el hecho de que $v$ tiene segundos parciales continuos.
Espero que esto sea lo que estaba buscando.