El problema
Dejemos que $\left( E, \langle \cdot, \cdot \rangle \right)$ sea un espacio euclidiano de dimensión $n$ . Dejemos que $K$ sea un subconjunto compacto de $E$ que contiene una base $e = (e_1, ..., e_n)$ de $E$ .
Denotamos por $S^+(E)$ el conjunto de endomorfismos autoadjuntos de $E$ con valores propios no negativos.
Quiero mostrar que $A := \{ u \in S^+(E) \textrm{ | } \forall x \in K, \langle x, u(x) \rangle \leq 1 \}$ es un subconjunto compacto de $\mathcal{L}(E)$ .
Ya he demostrado $A$ es un subconjunto cerrado de $\mathcal{L}(E)$ utilizando la caracterización secuencial y sin utilizar la compacidad de $K$ . Por tanto, lo que queda por demostrar es la acotación de $A$ .
Lo que he probado
Dejemos que $u \in A$ . El teorema espectral nos da una base ortonormal $f = (f_1, ..., f_n)$ compuesto por vectores propios de $u$ con valores propios $\lambda_1, ..., \lambda_n$ .
Descomponemos cada $e_i = a_{1i}f_1 + ... + a_{ni}f_n$ (para que $M := (a_{ij}) = \textrm{Mat}_{f}(e)$ ). Como $f$ es ortonormal y $e_i \in K$ , uno tiene $\langle e_i, u(e_i) \rangle = a_{1i}^2\lambda_1 + ... + a_{ni}^2\lambda_n \leq 1$ . Diciendo $\Lambda := (\lambda_1, ..., \lambda_n)^T$ y $N := (a_{ij}^2)$ podemos afirmar que $N \Lambda$ está acotado.
Mi objetivo ahora es demostrar que $\Lambda$ está limitada por algo que no depende de $u$ . En efecto, el radio espectral es una norma sobre $S(E)$ .
Pero hay un obstáculo principal: no consigo deshacerme de $N$ que depende de $u$ porque el $a_{ij}$ hacer. Además, sospecho que la compacidad de $K$ es útil en este caso, pero no puedo encontrar ninguna relación con él.
