$t$ -distribución y encontrar la probabilidad de la media de la muestra

Question

Hay una pregunta de un libro de estadística:

Si se toman cuatro observaciones de una distribución normal, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia entre la media observada $\bar x$ y la media real $\mu$ será inferior a cinco veces la desviación estándar observada, $s$ ?

El libro da una respuesta "Aproximadamente 0,002 ya que la probabilidad de que un $t$ -variable con 3 f.d. superará 10,21 es 0,001". La razón por la que utilizan 10,21 es porque eso es justo lo que la discretización más cercana de la tabla de probabilidades de exceder t en el libro es. Sin embargo, no puedo entender por qué llegan a alrededor del 10 para buscar la probabilidad de exceder y por qué dan la respuesta 0,002, porque la pregunta dice que "...será menos de cinco veces la desviación estándar observada, s...", así que seguramente la probabilidad debe ser sustancial porque cubrirá la mayor parte de la masa en el centro de la curva de distribución t. ¿Está el libro equivocado o estoy pasando algo por alto?

Además, es la primera vez que escribo en este foro, así que puede que no tenga la edición de texto correcta. Disculpas por adelantado.

Answer 1

Parece que hay un problema con esta respuesta. Si estás seguro de que has buscado todo correctamente, yo enviaría un correo electrónico al autor.

Cómo debe abordarse el problema:

Como está escrito aquí, voy a suponer que estamos interesados en $P(\frac{\bar x - \mu}{s} < 5)$ (no $P(\frac{|\bar x -\mu|}{s } > 5)$ como aparentemente responde el libro). Nótese que esto no es del todo correcto, ya que $s$ la raíz cuadrada del estimador insesgado de la varianza, es no la desviación estándar observada. Consulte la parte inferior para obtener más detalles.

Como tal, utilizamos el hecho de que sabemos que $\frac{\bar x - \mu}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$ . Porque $n = 4$ entonces sabemos que

$P(\frac{\bar x - \mu}{s} < 5) = $

$P(\frac{\bar x - \mu}{s } \times 2 < 5 \times 2) = $

$P(\frac{\bar x - \mu}{s/2} < 10) = $

Desde $n = 4$ entonces sabemos que lo anterior es igual a

$P(t_{3} < 10)$

Creo que lo has conseguido a partir de ahí.

Ahora que sabemos cómo el problema debe se han abordado, ¿cuál era mi queja sobre $s$ y las desviaciones típicas observadas? La desviación estándar observada es, por definición, $\hat \sigma = \sqrt{\sum_{i = 1}^n \frac{(x_i - \bar x)^2}{n} }$

Sin embargo, como $\hat \sigma^2$ es un estimador sesgado de $\sigma$ A menudo utilizamos

$s = \sqrt{\sum_{i = 1}^n \frac{(x_i - \bar x)^2}{n-1} }$

como $s^2$ es imparcial para $\sigma^2$ . Pero tenga en cuenta que esto es no ¡la desviación estándar observada!