Para el grupo finito $G$ cuando es $|Aut(G)| < |G|$ ?

Question

Si $G$ es un grupo finito, entonces sabemos que $|Aut(G)|$ divide $(|G|-1)!$ Quiero preguntar, si $G$ es un grupo finito con más de un elemento entonces es cierto que $|Aut(G)| < |G|$ ( Sé que siempre es cierto para los grupos cíclicos) ? Si $|Aut(G)| < |G|$ no es siempre cierto, ¿podemos entonces caracterizar los grupos para los que es cierto?

Answer 1

Esta afirmación es falsa en general. Puedes comprobar tú mismo que falla para grupos de orden pequeño (grupo de cuarterones, por ejemplo). Lo que sí es cierto es la pedir de elementos en el grupo de automorfismo debe ser menor que el orden del propio grupo. Para una referencia ver aquí:

https://mathoverflow.net/questions/1075/order-of-an-automorphism-of-a-finite-group

Para la prueba del contraejemplo, véase aquí:

Grupo de automorfismo del grupo de cuaterniones