El rango de un módulo no necesariamente generado finitamente.

Question

Esta pregunta está motivada por este . El punto principal de la pregunta (era) tratar de debilitar la noción de rango. Después de las respuestas y los comentarios, parece que no es una buena manera de hacerlo, pero tal vez sigue siendo útil para cualquiera que intente hacer lo mismo.

Observación: Condiciones añadidas tras el comentario de Hailong y la respuesta de Tom: $R$ reducido y $M$ indecomponible.

Dejemos que $R$ sea un anillo noetheriano reducido y $M$ un indescomponible $R$ -módulo. Para cualquier primo $p\in\mathrm{Spec} R$ con campo de residuos $\kappa(p)$ definir $$\delta_M(p)=\dim (M\otimes_R \kappa(p))$$ el rango local de $M$ en $p$ .

Pregunta 1: Si $\delta_M(p)=1$ para todos $p$ ¿se deduce que $M_p\simeq R_p$ ? O más generalmente, si $\delta_M$ es constante, ¿implica que $M_p$ es un programa gratuito $R_p$ -módulo para todos $p$ ?

Observaciones

1 Si $M$ está finitamente generada, entonces por el lema de Nakayama estas cuestiones son fáciles. (Véase el ejercicio II.5.8 en la página 125 de [Hartshorne]).

2 Tom Goodwillie señala que si $R=\mathbb Z$ y $M\subset \mathbb Q$ consiste en todos los números racionales $a/b$ tal que $b$ es libre de cuadrados, entonces $M_p\simeq R_p$ pero no es invertible, así que sería mucho pedir.

3 Yves Cornulier muestra aquí que si $M$ es proyectiva y $M_p\simeq R_p$ entonces $M$ está generada finitamente. En otras palabras, si la respuesta a (la primera parte de) la pregunta 1 es "SÍ", entonces $M$ no puede ser proyectiva. Así que esto sugiere una subpregunta...

Pregunta 1a: ¿Existe un ejemplo de un $R$ y un proyectivo no generado infinitamente $M$ para lo cual $\delta_M$ es constante?

Y permítanme incluir también una pregunta algo vaga, pero relacionada:

Pregunta 2: Es la clase de módulos $M$ para lo cual $\delta_M$ es finito para todo $p$ ¿Interesante? ¿Hay algún tipo de condición de finitud que satisfagan? (Aparte de la que significa esto directamente). ¿Tal vez con algunas hipotéticas adicionales? (¿proyectiva?)

Answer 1

Aquí hay algunos comentarios, demasiado largos para que quepan en la caja de comentarios.

1) Se puede modificar el ejemplo de Tom Goodwillie de la siguiente manera: para simplificar vamos a elegir $R$ para ser un dominio local de dimensión $1$ (por lo que sólo hay $2$ ideales primos, $0$ y $\mathfrak m$ , con residuos $K$ el campo del cociente y $k$ el campo de residuos de $R$ respectivamente). Entonces, cualquier módulo $M$ que encaja en una secuencia corta y exacta:

$$0 \to k \to M \to K \to 0 $$ satisfaría: $\delta_M(0)= \delta_M(\mathfrak m) =1$ . Pero $M_{\mathfrak m} =k$ no es un libre $R_{\mathfrak m}=R$ -módulo.

Tenga en cuenta que no se puede probar la secuencia exacta con $k, K$ intercambiados, ya que $Ext^1_R(k,K)=0$ . Por otro lado $Ext^1(K,k)$ es complicado, ya que las resoluciones proyectivas de $K$ dependen de la hipótesis del continuo ¡!

2) Para descartar ejemplos como el anterior, quizás más relevante que la indecomposibilidad o la proyectividad es exigir $M$ para ser sin torsión Así que $M$ inyecta en $M\otimes Q(R)$ ( $Q(R)$ es el anillo total de cocientes).

Digamos que asumimos esto y el "rango" es $1$ . Entonces inmediatamente sabemos que $M$ es un submódulo de $Q(R)$ y esto describe más o menos $M$ en todos los primos $p$ , una vez que se tensa con $\kappa (p)$ básicamente sólo un denominador de $M$ (que no está en $R$ ). Cuando $R=\mathbb Z$ El ejemplo de su 2) es muy claro desde este punto de vista.

3) Por último, no estoy seguro de que debamos llamar $\delta_M(p)$ el "rango" local. Cuando $M$ está generada finitamente, $\delta_M(p)$ es el número mínimo de generadores de $M$ localmente en $p$ . Por supuesto, si $M$ es localmente libre, será el rango, pero definitivamente no queremos asumirlo.

Esto tal vez explique por qué existen los contraejemplos fáciles de Tom Goodwillie y yo: $M$ puede tener localmente un número constante de generadores, pero generalmente no significa $M$ es localmente libre.

Answer 2

Pregunta 1: No. Dejemos que $M=\oplus_p\kappa(p)$ .