Cómo derivar una suma uniforme de n dados con s caras utilizando un lanzamiento de un dado de 60 caras

Question

Mi hija me regaló un dado de 60 caras por Navidad, y este mes la introduje en D&D. Es trivial representar una sola tirada de manera uniforme de un d4, d6, d10, d12 y d20 usando aritmética modular, y manejando los rerolls, se puede aplicar lo mismo para d8 y d100.

Pero qué pasa si quiero la suma de 3d4 usando sólo mi d60. Podría utilizar tablas de búsqueda pero tengo curiosidad por saber cómo lo derivaría mediante una ecuación. En otras palabras, si lanzo un 49, ¿cómo podría derivar uniformemente la suma de 3d4 sin una tabla de búsqueda?

Parece que el enfoque sería obtener primero las probabilidades de cada suma de 3 a 12 en 3d4, y luego aplicar esas probabilidades a 10 agrupaciones del d60. Sabiendo que las probabilidades no dividirán el d60 uniformemente, también habrá que manejar las tiradas repetidas.

Parece que tengo que usar una función generadora de probabilidad, pero no me queda claro cómo aplicarla, de manera que mirando el resultado de mi lanzamiento d60, pueda derivar uniformemente la suma de un dado de cara s con n lanzamientos.

Answer 1

Ya que puedes simular d4 usando d60 puedes simular fácilmente 3d4 por la suma de 3d60s. Puedes idear un método que lo obtenga más rápido haciendo uso del $15$ posibilidades que quedan después de cada tirada. Una mejora obvia sería obtener la tirada d4 a partir de la tirada d60 dividiendo el número uno menos del resultado entre 4 y obtener el resto más uno y si el cociente es menor que $12$ entonces podemos simular el siguiente resultado de una tirada de d4 dividiendo con el resto por $4$ de nuevo. Por ejemplo, si tiramos $40$ dividimos $40-1=39$ por $4$ obteniendo $9$ y el residuo $3$ - por lo tanto nuestro primer rollo es $3+1=4$ y podemos utilizar el cociente $9$ para rodar la segunda vez - dividiéndola por $4$ obtenemos el resto de $1$ por lo que nuestro segundo lanzamiento es $2$ . Así que la mayoría de las veces sólo necesitamos dos rollos, excepto en el caso de que el resto sea $12$ , $13$ o $14$ dos veces seguidas. La probabilidad de que esto ocurra es $(\frac{3}{15})^2=4\%$ lo que nos da una media de $2.04$ rollos. Y se puede mejorar aún más, por ejemplo, si obtenemos el doble del cociente $12$ o $13$ podemos asignar a cada uno de los pares $(12,12)$ , $(12,13)$ , $(13,12)$ y $(13,13)$ un resultado del tercer dado d4 por lo que el único caso en el que tenemos que tirar los dados por tercera vez sería cuando obtenemos el resto $14$ dos veces seguidas - la probabilidad de que esto ocurra es sólo $(\frac{1}{16})^2=\frac{1}{256} \approx .39\%$ .

Answer 2

La dificultad es que hay $4^3=64$ resultados de lanzar tres dados de cuatro caras. Si fuera menos de $60$ sería mucho más fácil. Lo que puedes hacer es lanzar tu d60 dos veces, lo que da $3600$ posibilidades. Como $\frac {3600}{64}=56\frac14$ puede asignar $56$ a cada resultado de 3d4. Será bastante desordenado.

La forma de calcular las tablas consiste en sumar posibilidades para obtener las probabilidades adecuadas. La primera tabla asigna dos números de $60$ a un rollo de $4$ , dando una oportunidad de $\frac 2{60}$ . La oportunidad de un rollo de $4$ es $\frac 3{64}$ por lo que todavía hay que tener en cuenta $\frac {19}{360}$ y utilizan las posibilidades más bajas para hacerlo. La siguiente tabla le da una posibilidad de $\frac 1{10}\cdot \frac 7{60}$ para rodar un $4$ que aún no es suficiente, así que sigues adelante.

Si está dispuesto a hacer una aproximación en aras de la simplicidad, reduzca el número de resultados para $6,7,8,9$ por $1$ cada uno, dando $60$ resultados. El resultado es $$\begin{array} {r r r r} \text{d60 roll}&\text{3d4 roll}&\text{d60 probability}&\text{3d4 probability}\\ \hline 1&3&\frac 1{60}&\frac 1{64} \\ 2-4&4&\frac 3{60}&\frac 3{64}\\ 5-10&5&\frac 6{60}&\frac6{64}\\ 11-19&6&\frac 9{60}&\frac{10}{64}\\ 20-30&7&\frac{11}{60}&\frac{12}{64}\\ 31-41&8&\frac{11}{60}&\frac{12}{64}\\ 42-50&9&\frac 9{60}&\frac{10}{64}\\ 51-56&10&\frac 6{60}&\frac6{64}\\ 57-59&11&\frac 3{60}&\frac 3{64}\\ 60&12&\frac 1{60}&\frac 1{64}\end {array}$$