Si $f\in C(\Bbb{R}^n) \cap C^1(\Bbb{R}^n\setminus\{0\})$ y $\nabla f(x) \to L$ como $x\to 0$ entonces $f\in C^1(\Bbb{R}^n)$

Question

Dejemos que $f:\Bbb{R}^n\to \Bbb{R}$ sea continua en $\Bbb{R}^n$ y continuamente diferenciable en $\Bbb{R}^n\setminus\{0\}$ . Además, $\nabla f(x)\to L$ como $x\to 0$ . Mostrar $f$ es $C^1$ en $\Bbb{R}^n$

Traté de usar la definición de límite de la derivada que se relaciona con el gradiente, pero se mezcla y confunde, y siento que subutilizo el hecho de que $f$ es continuamente diferenciable, y no simplemente $C^1$ . Agradecería una línea de ayuda.

Answer 1

Una pista:

Usando el teorema del valor medio en la definición de la derivada para probar que f es diferenciable en 0. Una vez que es diferenciable en 0, la continuidad de $\nabla f$ viene de la asunción de la pregunta.