Encontrar el polinomio característico de una transformación lineal

Question

Dejemos que $T: M_n(\Bbb{R}) \to M_n(\Bbb{R})$ sea una transformación lineal definida por $T(A)=A^t+A$ . ¿Cuál es el polinomio característico de $T$ ?

Si utilizo la base $E_{ij}$ Me sale $T(E_{ij})=E_{ij}+E_{ji}$ pero no sabemos cómo calcular el polinomio característico.

Answer 1

Dejemos que $E_{ij}$ sea la matriz con un $1$ en el $(i,j)$ -y cero en el resto. Entonces todos los $E_{ij}$ s forman una base de $M_n$ . Ahora, ordena esta base de la siguiente manera: $E_{11},E_{22},\ldots,E_{nn}$ van primero, seguidos por cada par de $\{E_{ij},E_{ji}\}$ con $i\ne j$ . El orden de los pares no es importante. Lo que es crucial es que cada $E_{ij}$ es adyacente a $E_{ji}$ en la base ordenada.

La matriz de $T$ con respecto a esta base es entonces $\operatorname{diag}(2I_n, J, J, \ldots, J)$ donde hay $\frac{n(n-1)}{2}$ copias de $J=\pmatrix{1&1\\ 1&1}$ . Se puede calcular fácilmente el polinomio característico de esta matriz diagonal de bloques.

Answer 2

$M_n(\mathbb{R})$ es un $n^2$ espacio dimensional. Así que usted está buscando $n^2$ valores propios, contando la repetición. Uno de los valores propios es 2. ¿Para qué tipo de matrices $T(A)=2A$ ? ¿Cuál es la dimensión de ese subespacio de $M_n(\mathbb{R})$ ?

Answer 3

Está claro que $f:A\mapsto A^t$ es una involución (satisface $f^2=1$ ), por lo que es diagonalizable (ya que $X^2-1=(X-1)(X+1)$ se divide con raíces simples) y tiene el polinomio característico $\chi_f=(X-1)^s(X+1)^a$ donde $s$ es la dimensión del eigespacio para $~1$ (las matrices simétricas) y $a$ es la dimensión del eigespacio para $~-1$ (las matrices antisimétricas). Ahora su $T=f+I_{M_n(\Bbb R)}$ por lo que su polinomio característico se obtiene de $\chi_f$ sustituyendo $X-1$ para $X$ (que añade $~1$ a todos los valores propios). Rellenar los detalles restantes debería ser fácil.

Answer 4

Esta es una forma más sencilla de hacerlo. Supongamos que $\lambda \in \mathbb{R}$ es un valor propio de T. Entonces

$T(A)=A^{t}+A=\lambda A$ $\iff$ $A^t=(\lambda-1)A$

Ahora bien, esto significa que si escribimos $A=(a_{ij})$ ,

$a_{ij} = (\lambda-1)a_{ji} = (\lambda-1)^{2}a_{ij}$

Por lo tanto, $A = (\lambda -1)^{2} A$ eso es, $(\lambda-1)^2 = 1$ .

Afirmamos que $f(x) = x^{2}-2x$ es el polinomio característico de $T$ . Esto es fácil de comprobar:

$(T^{2}-2T)(A) = T(A^{t}+A)-2(A^{t}+A) = 2(A^{t}+A)-2(A^{t}+A)=0$

para todos $A \in M_{n\times n }(\mathbb{R})$ .