Cómo encontrar la suma de las series armónicas parciales: $\sum_{b=1}^{m} \sum_{k=1}^{b} \frac{1}{k} $ ?

Question

¿Cómo puedo encontrar la suma de la suma de un número finito de series armónicas? $\sum_{b=1}^{m} \sum_{k=1}^{b} \frac{1}{k} $ ?

Según el arce lo es:

$\sum_{b=1}^{m} \sum_{k=1}^{b} \frac{1}{k} = \left( \left( m+1 \right) ^{2}-m-4 \right) \left( \Psi \left( m+2 \right) +\gamma \right) + \left( - \left( m+1 \right) ^{2}+2\,m+5 \right) \left( \Psi \left( m+3 \right) +\gamma \right) -3 $

Answer 1

La suma iterada se evalúa realmente como $$\sum_{b = 1}^m \sum_{k = 1}^b \frac{1}k = \left(m + 1\right)H_m - m.$$ Se puede demostrar, reagrupando términos, que para una suma general $$\sum_{a = 1}^x \sum_{b = 1}^a f(b) = \sum_{k = 1}^x \left(x - k + 1\right) f(k).$$ Por lo tanto, al enchufar $f(b) = \frac{1}b$ obtenemos \begin{align} \sum_{a = 1}^x \sum_{b = 1}^a f(b) &= \sum_{a = 1}^x \sum_{b = 1}^a \frac{1}b \\ &= \sum_{k = 1}^x \left(x - k + 1\right) \frac{1}k \\ &= \sum_{k = 1}^x \left(\frac{x}k - 1 + \frac{1}k\right) \\ &= \left(x + 1\right)H_x - x. \end{align} Supongo que Maple acaba de utilizar una extraña identidad poligámica en alguna parte.

Answer 2

Dejemos que $S_n$ denota $\displaystyle\sum_{k=1}^n H_k$ y aplicando la suma de Abel:

$$\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k b_k=A_nb_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}A_k\left(b_k-b_{k+1}\right)\ $$ donde $\ \displaystyle A_n=\sum_{i=1}^n a_i\ $ y dejar que $\ \displaystyle a_k=1 $ , $\ \displaystyle b_k=H_k\ $ obtenemos, \begin{align} S_n&=\left(\sum_{i=1}^n1\right)H_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\sum_{i=1}^k1\right)\left(H_k-H_{k+1}\right)\\ &=nH_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}(k)\left(-\frac1{k+1}\right), \quad\color{blue}{\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{k+1}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k}{k+1}}\\ &=nH_{n}-\sum_{k=1}^n\frac{k-1}{k}\\ &=nH_{n}-\sum_{k=1}^n1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\\ &=nH_n-n+H_n \end{align}

Answer 3

Utilicemos $$H_k=- \sum_{m=1}^{k}(-1)^k\frac {{k \choose m}}{m},~~ {n \choose r}={n-1 \choose r-1}+{n-1 \choose r},~~ \sum_{k=m}^{n} {k \choose m}= {n+1 \choose m+1}.$$ Entonces $$S_n=\sum_{k=1}^{n} H_k=- \sum_{k=1}^{n} \sum_{m=1}^{n} (-1)^m \frac{{n \choose m}}{m}= -\sum_{m=1}^{n} (-1)^{m} \frac{{n+1 \choose m+1}}{m} $$ $$\Rightarrow S_n= -\sum_{m=1}^{n} (-1)^m \frac{{n \choose m}}{m}- \sum_{m=1}^{n}(-1)^m \frac{{n \choose m+1}}{m}=H_n- \sum_{m=1}^{n} (-1)^m \frac{n}{m(m+1)} {n-1 \choose m+1}$$ $$\Rightarrow S_n=H_n-n\sum_{m=0}^{n} (-1)^m \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{m+1} \right) {n-1 \choose m}$$ $$\Rightarrow S_n= H_n-n\sum_{m=1}^{n-1} (-1)^m \frac{{n-1 \choose m}}{m}-\sum_{m=1}^{n}(-1)^m \frac{n}{m+1} {n-1 \choose m}=H_n+nH_{n-1}-\sum_{m=1}^{n} (-1)^m {n \choose m+1}$$ $$ \Rightarrow S_n= H_n+nH_{n-1}+\sum_{p=2}^{n} (-1)^p {n \choose p}=H_n+n(H_n-\frac{1}{n})+1-n=(n+1)H_n-n.$$

Answer 4

A continuación mostraré tres formas de utilizar una regla generada para la sustitución, para lograr el objetivo. Una utiliza simplify se utiliza applyrule y uno utiliza subs .

En primer lugar, Maple puede convertir harmonic(z) a la forma de suma, pero la operación inversa necesita ayuda. Construiré una ecuación para usar en la sustitución, a partir de lo que Maple calcula realmente para el value de la Sum forma de harmonic(z) .

restart;
convert(harmonic(b), Sum):

    Sum(b/_k1/(_k1+b),_k1 = 1 .. infinity)

value(%);

               gamma + Psi(1 + b)

Así que vamos a construir una fórmula para utilizarla,

T1 := expand(value(convert(harmonic(z),Sum)) = harmonic(z));

                    1                      
     T1 := Psi(z) + - + gamma = harmonic(z)
                    z                      

Realizando sólo la suma interna,

Q1 := Sum(sum(1/k, k=1..b), b=1..m);

       Sum(gamma+Psi(1+b),b = 1 .. m)

Ahora podemos simplify con T1 como una llamada "relación lateral", después de sustituir z para b en Q1 ,

simplify(subs(b=z,  combine(expand(Q1))), {T1});

       Sum(harmonic(z),z = 1 .. m)

En ese momento, Maple hace lo siguiente,

value(%);

      harmonic(m + 1) (m + 1) - m - 1

Como alternativa podemos poner T1 en una forma ligeramente diferente, aislando para Psi(z) ,

T2 := isolate(T1, Psi(z));

                                          1
     T2 := Psi(z) = harmonic(z) - gamma - -
                                          z

Ahora toma la doble suma,

temp := sum(sum(1/k, k=1..b), b=1..m):

Q2 := simplify(expand(temp),size);

         / 2    \                           2                
         \m  + m/ Psi(m) + 1 + (gamma - 1) m  + (gamma + 1) m
   Q2 := ----------------------------------------------------
                                  m                          

Y podemos construir una regla a partir de T2 para su uso con el applyrule de la orden. Esto no implica la sustitución de m para z .

R := subs(Psi(z)=Psi(z::anything), T2):

normal(applyrule(R, Q2));

        harmonic(m) m + harmonic(m) - m

Hay otras formas de utilizar T2 para sustituir a Psi(z) . Sustituyendo primero m para z en T2 podemos utilizar subs directamente.

normal(subs(subs(z=m, T2), Q2));

        harmonic(m) m + harmonic(m) - m