El rango de la función $ f(x) = x\sqrt{x}+\frac{1}{x\sqrt{x}}-4\left(x+\frac{1}{x}\right),$ Donde $x>0$

Question

Encontrar el rango de la función $\displaystyle f(x) = x\sqrt{x}+\frac{1}{x\sqrt{x}}-4\left(x+\frac{1}{x}\right),$ donde $x>0$

$\bf{My\; Try::}$ Deje $\sqrt{x}=t\;,$ $\displaystyle f(t) = t^3+\frac{1}{t^3}-4\left(t^2+\frac{1}{t^2}\right)\;,$

Ahora, Después de la Simplificación, obtenemos $\displaystyle f(t) = \left(t+\frac{1}{t}\right)^3-3\left(t+\frac{1}{t}\right)-4\left[\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-2\right]$

Ahora Pon $\displaystyle t+\frac{1}{t} = u\;,$ $\displaystyle \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}} = u\;,$ Así obtenemos $u\geq 2$ (Con $\bf{A.M\geq G.M}$)

Y nuestra función convertir en $\displaystyle f(u) = u^3-4u^2-3u+8\;,$ Donde $u\geq 2$

Ahora con la Segunda Derivada de la Prueba, $f'(u) = 3u^2-8u-3$ $f''(u) = 6u-8$

Así, por Max. y Min., Ponemos a $\displaystyle f'(u)=0\Rightarrow u=3$ $f''(3)=10>0$

Por lo $u=3$ es un punto de Mínimo.

Por lo $f(2)=8-4(4)-3(2)+8 = -6$ $f(3) = -10$

y la Gráfica es Como este

Así es la Gama de $$\displaystyle \left[-10,\infty \right)$$

Mi pregunta es ¿podemos resolver de otra manera, Como el uso de la Desigualdad

Si sí, Entonces plz explicar aquí

Gracias

Answer 1

Tenemos $$\color{blue}{x\sqrt{x} + \dfrac1{x\sqrt{x}}-4\left(x+\dfrac1x\right) = \underbrace{\dfrac{\left(1+\sqrt{x}\right)^2\left(x-3\sqrt{x}+1\right)^2}{x^{3/2}}}_{\text{Is non-negative}}-10}$$ Por lo tanto, el mínimo es de $-10$

Answer 2

SUGERENCIA: $$f'(x)=3/2\,\sqrt {x}-3/2\,{x}^{-5/2}-4+4\,{x}^{-2}$$ la solución para $x$ obtenemos $$1,1/4\, \left( \sqrt {5}-3 \right) ^{2},1/4\, \left( \sqrt {5}+3 \right) ^{2}$$ conectar $1$ $f(x)$ obtenemos $-6$ conectar los otros dos términos en $f$ obtenemos $$-10$$