Campo dividido sobre campo finito

Question

Dejemos que $\alpha$ sea una raíz de $x^3+x^2+1\in \mathbb{F}_2$ y $K=\mathbb{F}_2(\alpha)$ . Supongamos que $f$ es un polinomio irreducible en $K[x]$ de grado 4. Sea $\beta$ sea una raíz de $f$ y $L$ un campo de división de $f$ en $K$ . Me pregunto el número de elementos en $L$ . Sé que $K$ contiene 8 elementos, $L$ contiene las 4 raíces de $f$ y también contiene $K$ . Gracias

Answer 1

Toda extensión de un campo finito es normal, por lo que una vez que se adjunta $\beta$ a $K$ También se obtienen todas las demás raíces de $f$ . Así que, $L = K[\beta]$ ; $L$ tiene grado $4$ en $K$ Así que $L$ tiene grado $12$ en ${\mathbb F}_2$ por lo tanto, $L$ contiene $4096$ elementos.

Answer 2

Fórmula de grado: $[L:F_2]=[L:K][K:F_2]=4\cdot3=12$ si $f$ es un polinomio irred. sobre $K$ . Así que $2^{12}$ elementos.