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Prueba f2n+1+f2n=f2n+1f2n+1+f2n=f2n+1

Demostrar que si ff es la secuencia de Fibonacci, entonces f2n+1+f2n=f2n+1f2n+1+f2n=f2n+1 se mantiene para todo n. En lugar de intentar hacer esto por inducción, tengo que hacerlo intentando simplemente sustituir la fórmula explícita para fnfn . Estoy atascado en este paso:

f2n+1+f2n=15[ϕ2n(1+ϕ2)+(1ϕ)2n(1+(1ϕ)2)]f2n+1+f2n=15[ϕ2n(1+ϕ2)+(1ϕ)2n(1+(1ϕ)2)]

Créanme que esto equivale a 15[ϕ2n+1(1ϕ)2n+1]15[ϕ2n+1(1ϕ)2n+1]

Quizá sea un simple problema de álgebra, pero no sé cómo conseguir esa expresión. Gracias

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πr8 Puntos 1628

Uno puede demostrar por, digamos, inducción, que: An=[1110]n=[Fn+1FnFnFn1] Así, porque A2n=AnAn , uno tiene que

[Fn+1FnFnFn1][Fn+1FnFnFn1]=[F2n+1F2nF2nF2n1]

Compara la entrada superior izquierda de la matriz de la derecha, y observa cómo se puede calcular expandiendo el producto de la izquierda.

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Cye Waldman Puntos 144

El objetivo es derivar la expresión f2n+1+f2n=f2n+1 de la fórmula de Binet, que expresaré aquí como

fn=φnψnφψ

donde φ,ψ=(1±5)/2 y, además, ψ=1/φ .

Expandiendo el lado izquierdo de la expresión y reordenando por términos semejantes obtenemos

f2n+1+f2n=φ2n(1+φ2)+ψ2n(1+ψ2)2φnψn(1+φψ)(φψ)2

La derivación se basa en las siguientes tres relaciones...

1+φ2=φ+2=φ(φψ)1+ψ2=ψ+2=ψ(φψ)φψ=1

A continuación

f2n+1+f2n=φ2n+1ψ2n+1φψ=f2n+1

Ya que hemos llegado hasta aquí, he echado un vistazo a los números de Lucas, he encontrado que

L2n+1+L2n=(φψ)2f2n+1

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Audrick Veliz Puntos 11

Un poco tarde, pero estaba trabajando en este problema para una tarea y creo que esta prueba no fue mencionada antes.

Una prueba alternativa puede lograrse mediante el doble conteo. En primer lugar, tenemos que demostrar que Fn es el número de formas en que se puede escribir n como la suma de 1's o 2's (por ejemplo F3=|{1+2,1+1+1,2+1}| ). Para ello basta con demostrar que esto es cierto para n=1 y n=2 y para n3 Obsérvese que si el primer término es 1, los siguientes deben sumar n1 el número de formas de hacerlo es Fn1 y si el primer término es 2, entonces los siguientes términos deben sumar n2 el número de formas de hacerlo es Fn2 . Con estos hechos, podemos concluir que la secuencia que definimos es efectivamente la secuencia de fibonacci (si no estás convencido puedes demostrarlo inductivamente).

Teniendo esto en cuenta, consideremos el número de formas en que podemos escribir 2k como la suma de 1's o 2's. Como mostramos anteriormente esto es F2k . Ahora vamos a contar esto de una manera diferente. Si sumando término a término, pasamos por k entonces dividimos la suma en dos sumas de k por el principio del producto esto es F2k . Si es imposible pasar por k entonces debemos tener la situación, números que suman k1 , luego un 2, luego números que suman k1 . De nuevo, por el principio del producto, esto es F2k1 . Por lo tanto, por el principio de la suma, tenemos que F2k=F2k1+F2k

Remark El argumento de la doble contabilidad puede tener algunos problemas en el caso n=1 por lo que hay que demostrarlo. Pero este caso es trivial porque es un resultado directo de la definición de los números de Fibonacci.

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