Prueba $f_{n+1}^2+f_n^2=f_{2n+1}$

Question

Demostrar que si $f$ es la secuencia de Fibonacci, entonces $f_{n+1}^2+f_n^2=f_{2n+1}$ se mantiene para todo n. En lugar de intentar hacer esto por inducción, tengo que hacerlo intentando simplemente sustituir la fórmula explícita para $f_n$ . Estoy atascado en este paso:

$f_{n+1}^2+f_n^2=\frac{1}{5}[\phi^{2n}(1+\phi^2)+(1-\phi)^{2n}(1+(1-\phi)^2)]$

Créanme que esto equivale a $\frac{1}{\sqrt{5}}[\phi^{2n+1}-(1-\phi)^{2n+1}]$

Quizá sea un simple problema de álgebra, pero no sé cómo conseguir esa expresión. Gracias

Answer 1

Uno puede demostrar por, digamos, inducción, que: $$A^n=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{bmatrix}$$ Así, porque $A^{2n}=A^nA^n$ , uno tiene que

$$\begin{bmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} F_{2n+1} & F_{2n} \\ F_{2n} & F_{2n-1} \end{bmatrix}$$

Compara la entrada superior izquierda de la matriz de la derecha, y observa cómo se puede calcular expandiendo el producto de la izquierda.

Answer 2

El objetivo es derivar la expresión $f_{n+1}^2+f_n^2=f_{2n+1}$ de la fórmula de Binet, que expresaré aquí como

$$f_n=\frac{\varphi^n-\psi^n}{\varphi-\psi}$$

donde $\varphi,\psi=(1\pm \sqrt{5})/2$ y, además, $\psi=-1/\varphi$ .

Expandiendo el lado izquierdo de la expresión y reordenando por términos semejantes obtenemos

$$f_{n+1}^2+f_{n}^2=\frac{\varphi^{2n}(1+\varphi^2)+\psi^{2n}(1+\psi^2)-2\varphi^n\psi^n(1+\varphi\psi)}{(\varphi-\psi)^2}$$

La derivación se basa en las siguientes tres relaciones...

$$1+\varphi^2=\varphi+2=\varphi(\varphi-\psi)\\ 1+\psi^2=\psi+2=-\psi(\varphi-\psi)\\ \varphi\psi=-1$$

A continuación

$$f_{n+1}^2+f_n^2=\frac{\varphi^{2n+1}-\psi^{2n+1}}{\varphi-\psi}=f_{2n+1}$$

Ya que hemos llegado hasta aquí, he echado un vistazo a los números de Lucas, he encontrado que

$$L_{n+1}^2+L_n^2=(\varphi-\psi)^2f_{2n+1}$$

Answer 3

Un poco tarde, pero estaba trabajando en este problema para una tarea y creo que esta prueba no fue mencionada antes.

Una prueba alternativa puede lograrse mediante el doble conteo. En primer lugar, tenemos que demostrar que $F_n$ es el número de formas en que se puede escribir $n$ como la suma de 1's o 2's (por ejemplo $F_3 = |\{ 1+2,1+1+1,2+1\}|$ ). Para ello basta con demostrar que esto es cierto para $n=1$ y $n=2$ y para $n\geq 3$ Obsérvese que si el primer término es 1, los siguientes deben sumar $n-1$ el número de formas de hacerlo es $F_{n-1}$ y si el primer término es 2, entonces los siguientes términos deben sumar $n-2$ el número de formas de hacerlo es $F_{n-2}$ . Con estos hechos, podemos concluir que la secuencia que definimos es efectivamente la secuencia de fibonacci (si no estás convencido puedes demostrarlo inductivamente).

Teniendo esto en cuenta, consideremos el número de formas en que podemos escribir $2k$ como la suma de 1's o 2's. Como mostramos anteriormente esto es $F_{2k}$ . Ahora vamos a contar esto de una manera diferente. Si sumando término a término, pasamos por $k$ entonces dividimos la suma en dos sumas de $k$ por el principio del producto esto es $F_k^2$ . Si es imposible pasar por $k$ entonces debemos tener la situación, números que suman $k-1$ , luego un 2, luego números que suman $k-1$ . De nuevo, por el principio del producto, esto es $F_{k-1}^2$ . Por lo tanto, por el principio de la suma, tenemos que $$F_{2k} = F_{k-1}^2+F_k^2$$

$\textit{Remark}$ El argumento de la doble contabilidad puede tener algunos problemas en el caso $n=1$ por lo que hay que demostrarlo. Pero este caso es trivial porque es un resultado directo de la definición de los números de Fibonacci.