¿Es una extensión finitamente generada de un campo real cerrado también real cerrado?

Question

Dejemos que $\widetilde{\mathbb{Q}}$ sea el campo de los números algebraicos reales, y consideremos $\widetilde{\mathbb{Q}}(\pi)$ . Mi pregunta: ¿es $\widetilde{\mathbb{Q}}(\pi)$ ¿un verdadero campo cerrado?

Puntos de karma extra si puedes decir algo sobre la afirmación general: Toda extensión de campo finitamente generada de un campo real cerrado es también real cerrada.

Gracias.

Answer 1

Una pista: Si su campo fuera realmente cerrado, entonces contendría $\sqrt[3]{\pi}$ . Si lo hizo, entonces $\pi$ sería algebraico.