Vector aleatorio multivariado con distribución normal

Question

Dejemos que $X=(X_1, X_2)'\in N(\mu, \Lambda),$ donde

$$\mu=\begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \Lambda=\begin{bmatrix}3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}.$$

Calcula $P(X_1\geq 2 \mid X_2+3X_1=3).$

No sé ni por dónde empezar.

Answer 1

Actualmente su pregunta dice

$$\mu=\begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \Lambda=\begin{bmatrix}3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}.$$

Calcula $P(X_1\geq 2 \mid X_2+3X_3=3).$

Asumiré que simplemente te olvidaste $X_3.$ Usted tiene $$ \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} \sim N\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \mu_3 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 3 & 1 & \sigma_{1,3} \\ 1 & 2 & \sigma_{2,3} \\ \sigma_{1,3} & \sigma_{2,3} & \sigma_{3,3} \end{bmatrix} \right). $$ Dejemos que $Y = X_2+3X_3.$ Entonces $$ \begin{bmatrix} X_1 \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix}, $$ para que $$ \operatorname{E} \begin{bmatrix} X_1 \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \mu_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 + 3\mu_3 \end{bmatrix} $$ y $$ \operatorname{var} \begin{bmatrix} X_1 \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 & \sigma_{1,3} \\ 1 & 2 & \sigma_{2,3} \\ \sigma_{1,3} & \sigma_{2,3} & \sigma_{3,3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1+3\sigma_{1,3} \\ 1+3\sigma_{1,3} & 2+6\sigma_{2,3} + 9\sigma_{3,3} \end{bmatrix}. $$ Encuentre esa densidad normal bivariada y conecte $3$ en lugar del segundo argumento, para $Y=3.$ No te preocupes por la constante de normalización; puedes leer el valor esperado y la varianza a partir de otros aspectos de la forma de la función de densidad.

O bien, utilice una de las fórmulas habituales para la distribución condicional de un componente de una variable aleatoria normal bivariante dado el valor del otro componente.