Dejemos que $f:R\to S$ un homomorfismo de anillo y $f^* \dashv f_*$ la adjunción de restricción-coinducción. Sé que $f_*$ es fiel si el condado $\epsilon_V$ de esta unión es un epimorfismo para todo $V$ . ¿Existe una condición más fácil en $f$ para que esto sea cierto?
Por ejemplo, sé que el functor de restricción $f^*$ está lleno si $f$ es un epimorfismo. Me parece tentador creer que $f_*$ es fiel si $f$ es mono, pero no tengo ninguna prueba de ello.
El país $\epsilon_V$ es el $R$ -homomorfismo de módulo $$\text{Hom}(f,V):\text{Hom}_R(S,V)\to\text{Hom}_R(R,V)=V.$$ Para que esto sea epi para todos $V$ necesitamos $f$ dividir mono como un $R$ -homomorfismo de módulo (toma $V=R$ y $\text{id}_R\in\text{Hom}_R(R,R)$ ). Esta es también una condición suficiente.
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