PDE Ecuación de Laplace. Forma de representación integral y función de Green

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un dominio en $\mathbb{R}^{d}$ y asumir que para cualquier $y \in \Omega$ existe una función $h_{y} \in C^{2}(\overline{\Omega})$ tal que \begin{equation} \label{eq8.1} \begin{cases} \Delta h_{y}(x) = 0 \text{ in } \Omega \\ h_{y}(x) = E(x,y) \text{ on } \partial \Omega \end{cases} \fin{sión}

Dónde $E$ denota la solución fundamental de $\Delta$ en dimensión $d$ . Bajo estos supuestos definimos la función de Green $G(x,y) = E(x,y) - h_{y}(x)$

Dejemos que $\Omega$ sea un dominio acotado tal que se pueda definir la función de Green $G$ . Entonces, para cualquier $u \in C^{2}(\overline{\Omega})$ y cualquier $y \in \Omega$ tenemos $$ u(y) = - \int_{\Omega} G \Delta u dx - \int_{\partial \Omega} \partial_v G(x,y) u(x) d\sigma(x) $$

Dónde $v$ es la normal exterior de $\partial \Omega$ . No veo cómo se supone que la representación integral anterior se desprende directamente de la definición de la función de Green y del hecho de que si $E$ es una solución fundamental de $\Delta$ que tenemos:

$$ u(y) = - \int_{\Omega} E \Delta u dx + \int_{\partial \Omega} E(x,y) \partial_vu(x) - \partial_vE(x,y) u(x) d\sigma(x) $$

Answer 1

Se deduce del teorema de la divergencia aplicado al campo vectorial $h_y\nabla u - \nabla h_y u$ . Entonces, obtenemos los términos $\partial_v u h_y = \partial_vE$ y $\partial_v h_y u$ que anula el término de $\partial_v G u$ por lo que recuperamos la representación integral original para $u$ .

Answer 2

En primer lugar, recuerda lo que $E$ es. En $3$ o más dimensiones, es

$$E(x,y) = \frac{1}{|x-y|^{n-2}}$$

Si se toma la segunda derivada y se suma se obtiene $$\Delta E(x,y) = \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2 E(x,y)}{\partial x_i^2} = 0 \mbox{ for $ x\neq y $}$$

esto es lo mismo que decir $\Delta E(x,y) = \delta_x(y)$ , donde $\delta_x$ es la función tal que $$\delta_x = \delta(y-x)$$ Dónde $\delta$ es la función Delta de Dirac:

$$\delta(x) = \begin{cases} +\infty & x= 0 \\ 0 & x\neq 0 \\ \end{cases}$$

Esta no es una definición de función rigurosa, porque $\infty$ en un solo punto no tiene sentido. Sin embargo, se puede definir con rigor.

Bueno, la función delta tiene la bonita propiedad de que

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-a) \ dx = f(a)$$

La intuición es que si tienes esa función $E$ con la propiedad de que su laplaciano es una función delta, entonces

$$\Delta_x E(x,y) = \delta_x(y-x) \implies \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\Delta E(x,y) = \int_{\infty}^{\infty} f(x)\delta_x(y-x) = f(x)$$

Vea que tiene $f(x)$ por un lado y nuestra función mágica $E$ en la otra. Vamos a hacer eso para más dimensiones, pero con rigor.

Consideremos la segunda identidad verde:

$$\int_{\Omega} u\Delta w - w\Delta u \ dy = \int_{\partial \Omega}\left(u\frac{\partial w}{\partial n}-w\frac{\partial u}{\partial n}\right)$$

Así que al hacer $u=$ y $w=E$ que tenemos:

$$\int_{\Omega} u\Delta E - E\Delta u \ dy = \int_{\partial \Omega}\left(u\frac{\partial E}{\partial n}-E\frac{\partial u}{\partial n}\right)$$

no podemos integrar $E$ en todo el $\Omega$ porque no se define cuando $x=y$ por lo que necesitamos separar esta integral en la región $\Omega_\epsilon$ que es una región formada por $\Omega$ menos una bola alrededor del punto de indefinición así:

$$\Omega_\epsilon = \Omega-B_x(\epsilon)$$

Así que si separamos $\Omega = \Omega_\epsilon \cup B_x(\epsilon)$ sabemos que la integral en $\Omega_\epsilon$ es $0$ porque no hay indefinición allí, y tenemos que lidiar con la integral en $\Omega_\epsilon$ . Tenga en cuenta que $\partial\Omega_\epsilon = \partial \Omega \cup \partial B_x(\epsilon)$ así que terminamos con..:

$$\int_{\Omega_\epsilon} u\Delta E - E\Delta u \ dy =\int_{\Omega_\epsilon}-E\Delta u \ dy \implies \\ \int_{\partial \Omega_\epsilon}\left(u\frac{\partial E}{\partial n}-E\frac{\partial u}{\partial n}\right) = \int_{\partial \Omega}\left(u\frac{\partial E}{\partial n}-E\frac{\partial u}{\partial n}\right)+ \int_{\partial B_x(\epsilon)}\left(u\frac{\partial E}{\partial n}-E\frac{\partial u}{\partial n}\right)$$

En primer lugar, hay que tener en cuenta que

$$\lim_{\epsilon\to 0}\int_{\Omega_\epsilon}-E\Delta u \ dy = \int_{\Omega}-E\Delta u \ dy$$

ya que no depende de $\epsilon$ y por un argumento adicional no explicado aquí, $E$ es integrable en $x=y$ , por lo que podemos escribir esa integral porque es finita.

Ahora por otro argumento que no voy a exponer aquí,

$$\lim_{\epsilon\to 0} \left(\int_{\partial \Omega}\left(u\frac{\partial E}{\partial n}-E\frac{\partial u}{\partial n}\right)+ \int_{\partial B_x(\epsilon)}\left(u\frac{\partial E}{\partial n}-E\frac{\partial u}{\partial n}\right)\right) = \\ \int_{\partial \Omega} u\frac{\partial E}{\partial n}-E\frac{\partial u}{\partial n} dy + u(x)$$

por lo que terminamos con

$$\int_{\partial \Omega} u\frac{\partial E}{\partial n}-E\frac{\partial u}{\partial n} dy + u(x) = \int_{\Omega}-E\Delta u \ dy \tag{1}$$

Tenga en cuenta que sólo resuelve la mitad del problema. No sabemos, por ejemplo, cómo $\frac{\partial u}{\partial n}$ parece en $\partial \Omega$ . Esto se mitiga introduciendo la función correctora $h_x(y)$ de la que hablaste.

Las partes no explicadas y los detalles de la función correctora se pueden encontrar aquí