No es tanto que $X'(t_0)$ y $X'(s_0)$ no apuntan en la misma dirección (siempre lo hacen) como es que $X''(t_0)$ y $X''(s_0)$ no apuntan en la misma dirección, en general, a menos que el parámetro de longitud de arco $s$ está relacionado linealmente con $t$ es decir $s = ct + b$ . En lo que sigue ampliaré estas observaciones.
Considere la curva original $X(t)$ y su versión parametrizada de longitud de arco $X(s)$ . Si suponemos que se nos da inicialmente $X(t)$ podemos calcular su función de longitud de arco $s$ de la manera conocida a través de la fórmula integral
$s(t) = \int_{t_0}^t \sqrt{X'(u) \cdot X'(u)} du + s_0, \tag{1}$
que fija $s(t_0) = s_0$ . En $s(t)$ podemos re-parametrizar $X(t)$ con $s$ , obteniendo $X(s)$ la versión parametrizada de longitud de arco de $X(t)$ En este punto hay que señalar que, mientras la curva $X(t)$ es regular , lo que significa $X'(t) \ne 0$ que
$s'(t) = \dfrac{ds}{dt} = \sqrt{X'(t) \cdot X'(t)} > 0, \tag{2}$
mostrando a la vez que $s(t)$ es monotónicamente creciente e invertible, al menos localmente, por lo que también existe una función $t(s))$ con $t(s(t)) = t$ ; $(ds / dt)(dt / ds) = 1$ también. Tenga en cuenta que tenemos $X(t_0) = X(s_0)$ en virtud de la ecuación (1), aunque $s_0$ es una constante arbitraria y, por tanto, los valores de $t_0, s_0$ son esencialmente independientes entre sí; para cualquier elección de $t_0$ en el ámbito de $X(t)$ cualquier valor de $s_0$ puede tomarse en (1). No importa si $s_0 = t_0$ o $s_0 \ne t_0$ , al igual que no importa si $X(t)$ , $X(s)$ pasar por $(1, 1, 1)$ o cualquier otro punto, que se puede arreglar fácilmente traduciendo $X(t)$ y/o $X(s)$ por un vector fijo $Z$ : $X(t) \to X(t) + Z$ , $X(s) \to X(s) + Z$ son los vectores tangentes $X'(t)$ , $X'(s)$ lo que importa aquí, no ningún punto específico por el que puedan pasar las curvas. En efecto, $(X(t) + Z)' = X'(t)$ , $(X(s) + Z)' = X'(s)$ por lo que estas tangentes permanecen invariantes bajo traslaciones por vectores (constantes) $Z$ .
Una vez aclarados estos puntos, procedemos a examinar en detalle la relación entre $X'(t)$ y $X'(s)$ . Desde $s = s(t)$ es una función de $t$ podemos relacionar las derivadas de $X(t), X(s)$ entre sí utilizando la regla de la cadena:
$X'(t) = \dfrac{dX(s(t))}{dt} = \dfrac{ds}{dt} \dfrac{dX(s)}{ds} = \dfrac{ds}{dt} X'(s),\tag{3}$
que, desde $ds / dt > 0$ por (2), muestra que $X'(t)$ y $X'(s)$ apuntan en la misma dirección, siempre . Sin embargo, si damos un paso más allá y observamos la segunda derivada de $X(t)$ que, si interpretamos $t$ como una especie de coordenada temporal, correspondería al aceleración de la curva $X(t)$ vemos en (3) que
$X''(t) = \dfrac{d^2 s}{dt^2} X'(s) + (\dfrac{ds}{dt})^2 X''(s), \tag{4}$
el cuadrado de $ds/dt$ en el segundo término que surge del hecho de que
$\dfrac{X'(s)}{dt} = \dfrac{ds}{dt}X''(s), \tag{5}$
de nuevo haciendo uso de la regla de la cadena. La inspección de (4) revela que, aunque $X'(s) \cdot X''(s) = 0$ en virtud del hecho de que $X'(s) \cdot X'(s) = 1$ , $X'(t) \cdot X''(t) \ne 0$ en general. En efecto, de (3) y (4) se deduce que
$X'(t) \cdot X''(t) = \dfrac{ds}{dt}\dfrac{d^2 s}{dt^2} X'(s) \cdot X'(s) + (\dfrac{ds}{dt})^3 X''(s) \cdot X'(s) = \dfrac{ds}{dt}\dfrac{d^2 s}{dt^2}; \tag{6}$
desde $ds / dt > 0$ esta ecuación muestra que $X'(t) \cdot X''(t) = 0$ si y sólo si $d^2s/ dt^2 = 0$ es decir, si y sólo si $s = ct + b$ para unas constantes convenientemente elegidas $c$ y $b$ . En el caso de que sea así, tenemos $ds/dt = c$ por lo que a partir de (2) vemos que
$X'(t) \cdot X'(t) = c^2, \tag{7}$
para que $X'(t) \cdot X'(t)$ también es constante. Entonces diferenciando (7) se obtiene
$X''(t) \cdot X'(t) = 0, \tag{8}$
que muestra que $X''(t)$ es normal que $X'(t)$ cuando $s$ es una función lineal de $t$ es decir, cuando $d^2s / dt^2 = 0$ . Además, tenemos entonces por (3) que
$X'(s) = c^{-1} X'(t), \tag{9}$
para que $X'(s)$ no es más que un reescalado de $X'(t)$ por la constante $c^{-1} = dt / ds$ . Si se inserta (7) en (1) encontramos
$s = c(t - t_0) + s_0 = \Vert X'(t_0) \Vert (t - t_0) + s_0 = \Vert X'(t_0) \Vert t + (s_0 - \Vert X'(t_0) \Vert t_0), \tag{10}$
para que $c = \Vert X'(t_0) \Vert$ y $b = s_0 - \Vert X'(t_0) \Vert t_0$ . La ecuación (6) muestra así que, aunque $X'(t)$ y $X'(s)$ siempre apuntan en la misma dirección, $X''(t)$ y $X''(s)$ generalmente no lo hacen, ya que $X''(t)$ puede tener un componente, $d^2s/dt^2$ en el $X'(s)$ dirección, mientras que $X''(s)$ es siempre ortogonal a $X'(s)$ .
La discusión anterior tiene algunas interpretaciones notables en términos de la física básica del movimiento curvilíneo. Si, de nuevo, $t$ se toma como tiempo entonces la ecuación (4), por ejemplo, nos dice que el aceleración de la curva $X(t)$ tiene en general componentes tanto a lo largo de $X'(s) = T$ el campo vectorial unitario tangente a $X(s)$ y $X''(s) = T'(s) = \kappa N(s)$ que como vemos apunta en la dirección del campo normal unitario $N(s)$ ; $\kappa$ es, por supuesto, la curvatura de $X(t)$ , $X(s)$ . (Las ecuaciones $X'(s) = T$ y $T'(s) = \kappa N$ son efectivamente parte del aparato Frenet-Serret de la curva $X(s)$ .) Si escribimos (4) en términos de $T(s)$ y $N(s)$ encontramos que
$X''(t) = \dfrac{d^2 s}{dt^2} T(s) + (\dfrac{ds}{dt})^2 \kappa N(s) = \dfrac{d}{dt}(\dfrac{ds}{dt})T(s) + (\dfrac{ds}{dt})^2 \kappa N(s), \tag{11}$
que indica que la componente del vector de aceleración $X''(t)$ a lo largo de $X(t)$ , $X(s)$ es simplemente la tasa de cambio del velocidad $ds/dt$ como en el caso del movimiento unidimensional a lo largo de una línea, mientras que la componente en la dirección de la normal $N(s)$ es $(ds/dt)^2 \kappa$ . El término $(\dfrac{ds}{dt})^2 \kappa N(s)$ es de hecho una generalización de la noción de fuerza centrípeta que se desprende de la dinámica del movimiento circular; esto puede verse observando que, para un círculo de radio $r$ , $\kappa = 1/ r$ para que $(ds/dt)^2 \kappa = (ds/dt)^2 /r$ La magnitud, por unidad de masa, de una fuerza dirigida centralmente requerida para mantener una trayectoria en la ronda. Dando un paso más, a partir de (6) vemos que
$X'(t) \cdot X''(t) = \dfrac{ds}{dt}\dfrac{d^2 s}{dt^2} = \dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2}(\dfrac{ds}{dt})^2), \tag{12}$
que a su vez es una generalización de otro hecho de la dinámica básica: la tasa de cambio de la energía cinética, o poder por unidad de masa que sufre una partícula viene dada por la velocidad por la aceleración. Vemos que todos los cambios en la energía cinética ( $1/2(ds/dt)^2$ ) surgen de la componente de la aceleración a lo largo de $X(t)$ ; aceleración normal a $X(t)$ , $X(s)$ altera la dirección, pero no la energía cinética, de una partícula.
Probablemente valga la pena observar que no hay nada esencial sobre las tres dimensiones en la discusión anterior.
Espero que esto ayude. Adiós,
y como siempre,
¡¡Fiat Lux!!
