Cálculo de la expansión asintótica

Question

He encontrado un documento en el que la siguiente expresión $$\log\left(1 - \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x} + \frac{A}{x^2}+\epsilon x = 0$$ Dónde $\epsilon$ es una constante de orden $10^{-2}$ a $10^{-5}$ , $A$ es una constante de orden unitario, se aproxima para $\frac{1}{x}<<1$ como $$\epsilon x^4 + \left(A-\frac{1}{2}\right) x - \frac{1}{3} + O\left(\frac{1}{x}\right) = 0$$ No puedo derivar este resultado. Volviendo a la primera ecuación, denoto $\frac{1}{x} = y$ . Entonces, utilizando la expansión de Taylor $$\log(1-y) = y -\frac{1}{2}y^2 +\frac{2}{3}y^3 +...$$ Y sustituto obtengo $$2y +\left(a-\frac{1}{2}\right)y^2 + \frac{2}{3}Y^3 + \frac{\epsilon}{y} +O(x^4)= 0$$ Y no está ni siquiera cerca. Cualquier pista sobre mi error sería muy apreciada, gracias

Answer 1

$$\begin{align}0 &=\ln\left(1 - \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x} + \frac{A}{x^2}+\epsilon x \\ &= -\frac1x - \frac1{2x^2}-\frac1{3x^3} +\cdots+\frac1x+\frac a{x^2} + \epsilon x \\ &=\epsilon x^4+(a-1/2)x -1/3+\cdots \end{align} $$

Answer 2

$$\log\left(1 - \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x} + \frac{A}{x^2}+\epsilon x =-\frac1x-\frac1{2x^2}-\frac1{3x^3}+O\left(\frac1{x^4}\right)+ \frac{1}{x} + \frac{A}{x^2}+\epsilon x=0$$ entonces

$$x^3\left(\left(A-\frac12\right)\frac1{x^2}-\frac1{3x^3}+O\left(\frac1{x^4}\right)+ \frac{A}{x^2}+\epsilon x\right)=(A-\frac12)x-\frac13+O\left(\frac1{x}\right)+Ax+\epsilon x^4=0$$