Soy un estudiante que se prepara para el GRE, no tengo ninguna pista para resolver esto estoy adjuntando la captura de pantalla de la pregunta:
Necesito que me den un atajo o consejo para tratar estos problemas...
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Vedran Šego
Puntos
8041
En primer lugar, simplifiquemos un poco esto:
$$42^{25 \sqrt{25^{25}}} = 42^{25 \cdot 5^{25}} = (21^{25})^{5^{25}} 2^{5^{27}}.$$
El número de dígitos se obtiene mediante el logaritmo, por lo que calculamos
$$\log_{10} 42^{25 \sqrt{25^{25}}} = 5^{25} \log_{10} 21^{25} + 5^{27} \log_{10} 2.$$
Desde $n = \lfloor \log_{10} 21^{25} \rfloor + 1$ Yo diría que la respuesta es "ninguna de las anteriores".
Las identidades usadas se pueden encontrar aquí . La comprobación con WolframAlpha no fue tan sencilla, pero aquí está: el número de dígitos de $21^{25}$ es $34$ y el número de dígitos de $42^{1000}$ es $1624$ . Creo que podemos estar de acuerdo en que $25 \sqrt{25^{25}} > 1000$ y $1624 > 850 = 25 \cdot 34 = 25n$ (las otras respuestas ofrecidas son aún más pequeñas), lo que creo que confirma mi respuesta.
Wilfred Springer
Puntos
141
La respuesta propuesta se desvía por una magnitud tan grande que es fácil demostrar su falsedad sin necesidad de una calculadora.
$21^{25}\lt100^{25}=10^{50}$ que tiene $51$ dígitos, y así si la respuesta es correcta, $\large42^{25\sqrt{25^{25}}}$ no puede tener más de $51+25=76$ dígitos.
Pero, $\large42^{25\sqrt{25^{25}}}=42^{25^{13.5}}\gt 10^{25^{13.5}}\gt 10^{25^2}=10^{625}$ que tiene $626$ dígitos.
Por lo tanto, la respuesta dada es incorrecta a menos que la expresión sea $42^{25}\cdot\sqrt{25^{25}}$ como se señala en los comentarios.
Rob Dickerson
Puntos
758
El examen está mal.
Un número $n$ tiene $\lfloor \log_{10} n\rfloor + 1$ dígitos decimales. Así que $21^{25}$ tiene $34$ dígitos.
Para la expresión más complicada,
$$1+\lfloor \log_{10} 42^{25\sqrt{25^{25}}} \rfloor = 1+\lfloor \log_{10} 42^{\sqrt{25^{27}}} \rfloor = 1+\lfloor \log_{10} 42^{5^{27}} \rfloor = 1+\lfloor 5^{27} \log_{10} 42 \rfloor$$ que según mi calculadora es más de $10^{19}$ mayor que $34+25.$
